（全国通用版）2019版高考数学总复习 专题五 立体几何 5.3 空间向量与立体几何精选刷题练 理.docVIP

5.3　空间向量与立体几何 命题角度1空间位置关系证明与线面角求解　 高考真题体验·对方向 1.(2018全国·18) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF. (1)证明:平面PEF平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. (1)证明由已知可得,BFPF,BF⊥EF, 所以BF平面PEF. 又BF?平面ABFD, 所以平面PEF平面ABFD. (2)解作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD. 以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz. 由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1, 所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEPF. 可得PH=,EH=. 则H(0,0,0),P,D为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ, 则sin θ=. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为. 2.(2018全国·20) 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值. (1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2. 连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2. 由OP2+OB2=PB2知POOB. 由OPOB,OP⊥AC知PO平面ABC. (2)解如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的法向量=(2,0,0), 设M(a,2-a,0)(0a≤2), 则=(a,4-a,0). 设平面PAM的法向量为n=(x,y,z). 由·n=0,·n=0得 可取n=((a-4),a,-a), 所以cos,n=. 由已知可得|cos,n|=. 所以, 解得a=-4(舍去),a=. 所以n=. 又=(0,2,-2),所以cos,n=. 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为. 3.(2016全国·19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. (1)证明由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=BC=2. 又ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT?平面PAB,MN?平面PAB, 所以MN平面PAB. (2)解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,且AE=. 以A为坐标原点,的方向为x轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N=(0,2,-4),. 设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量, 则 可取n=(0,2,1). 于是|cosn,|=. 4. (2015全国·18)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)证明:平面AEC平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. (1)证明连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1. 由ABC=120°,可得AG=GC=. 由BE平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC. 又AEEC,所以EG=,且EGAC. 在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=. 在Rt△FDG中,可得FG=. 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又AC∩FG=G,可得EG平面AFC. 因为EG?平面AEC, 所以平面AEC平面AFC. (2)解如图,以G为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,,0), 所以=(1,),. 故cos==-. 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为. 新题演练提能·刷高分 1. (2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,ABC=120°. (1)证明:ADA1B; (2)若平面ADD1A1平面ABCD,且A