4.2.2 对数运算法则.DOCXVIP

数学必修·第二册[人教B版]作业与测评

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4．2.2对数运算法则

知识点一正确理解对数的运算法则

1．对a0且a≠1(M0，N0)，下列说法正确的是()

A．logaM×logaN＝loga(M＋N)

B．eq\f(logaM,logaN)＝loga(M－N)

C．logaeq\r(m,Mn)＝logamMn

D．logaM＝eq\f(log（－2）M,log（－2）a)

答案：C

解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，logaeq\r(m,Mn)＝logaMeq\s\up6(\f(n,m))＝eq\f(n,m)logaM，logamMn＝eq\f(n,m)logaM，故C正确；D中－2不能作底数，故D错误．故选C.

2．给出下列式子：

①lg(3＋2eq\r(2))－lg(3－2eq\r(2))＝0；

②lg(10＋eq\r(99))×lg(10－eq\r(99))＝0；

③log(eq\r(n＋1)－eq\r(n))(eq\r(n＋1)＋eq\r(n))＝－1(n∈N＋)；

④eq\f(lga,lgb)＝lg(a－b)．

其中正确的是________(填序号)．

答案：③

解析：lg(3＋2eq\r(2))－lg(3－2eq\r(2))＝lgeq\f(3＋2\r(2),3－2\r(2))＝lg(3＋2eq\r(2))20，故①错误；∵lg(10＋eq\r(99))≠0，lg(10－eq\r(99))≠0，∴lg(10＋eq\r(99))×lg(10－eq\r(99))≠0，故②错误；log(eq\r(n＋1)－eq\r(n))(eq\r(n＋1)＋eq\r(n))＝log(eq\r(n＋1)－eq\r(n))eq\f(1,\r(n＋1)－\r(n))＝－1，故③正确；eq\f(lga,lgb)≠lg(a－b)，故④错误．

知识点二对数式的计算、化简

3．已知lg5＝a，则lg20＝()

A．4＋a B．0.6＋a

C．2－a D．2a－4

答案：C

解析：由于lg5＝a，所以lg2＝1－lg5＝1－a，所以lg20＝1＋lg2＝2－a.故选C.

4．计算下列各式的值：

(1)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；

(2)eq\f(lg2＋lg5－lg8,lg5－lg4).

解：(1)原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log2eq\f(1,\r(2))＝－eq\f(1,2).

(2)原式＝eq\f(1－3lg2,lg5－2lg2)＝eq\f(1－3lg2,lg5＋lg2－3lg2)＝eq\f(1－3lg2,1－3lg2)＝1.

知识点三换底公式及应用

5．计算：(1)log927；

(2)log89×log2732；

(3)log2eq\f(1,125)×log3eq\f(1,32)×log5eq\f(1,3).

解：(1)log927＝eq\f(log327,log39)＝eq\f(log333,log332)＝eq\f(3log33,2log33)＝eq\f(3,2).

(2)log89×log2732＝eq\f(lg9,lg8)×eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(lg32,lg23)×eq\f(lg25,lg33)＝eq\f(2lg3,3lg2)×eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(10,9).

(3)log2eq\f(1,125)×log3eq\f(1,32)×log5eq\f(1,3)＝log25－3×log32－5×log53－1＝－3log25×(－5log32)×(－log53)＝－15×eq\f(lg5,lg2)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg5)＝－15.

6．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py.

(1)求p；

(2)求证：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).

解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(k1)，

则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，

由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·eq\f(log3k,log34)，

∵log3k≠0，∴p＝2log34.

(2)证明：∵eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2＝eq\f(1,2)logk4＝eq