第二章 2.6　幂函数及几类常见的特殊函数.pptxVIP

;;

;;1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

;(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

;2．一次分式函数

(2)图象

;(2)图象

;

(1)性质

①奇偶性：奇函数；

②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；

③渐近线：x＝0.

;(2)图象

;5．高斯函数y＝[x]

(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数．

(2)性质

①定义域：R；值域：Z.

②不具有单调性、奇偶性、周期性．

;(3)图象

;

(1)定义域：R；值域：{0，1}．

(2)奇偶性：偶函数．

(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期．

(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在．

;7．最值函数的概念

直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数．

;;1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(2)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．()

;

解析：由幂函数的性质知，f(x)＝xα，在第一象限内，当α0时，函数单调递减，当α为奇数或分子和分母均为奇数的既约分数时，函数为奇函数，所以当α＝－1或α＝－3时，幂函数在(0，＋∞)上单调递减，且为奇函数．

;

解析：因为函数f(x)是幂函数，所以m2－3m－3＝1，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1，当m＝4时，f(x)＝x10，图象与y轴有交点(0，0)，当m＝－1时，f(x)＝x0，图象与y轴无交点，所以实数m的值为－1.

;;考点1幂函数的图象和性质;B;;B;(2)(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则()

B．f(x)的图象经过点(1，1)

C．f(x)在[0，＋∞)上单调递增

D．不等式f(x)≥x的解集为{x|x≤1}

;考点2几类特殊函数;(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

;命题角度2对勾函数与飘带函数

;命题角度3高斯函数、狄利克雷函数与最值函数

【例4】(1)(多选)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯最早使用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是()

A．函数y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称

B．函数y＝x－[x]，x∈R的值域为[0，1)

C．对于任意的x，y∈R，不等式[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立

D．不等式2[x]2＋[x]－10的解集为{x|0≤x1}

;ABD;(3)(多选)函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则下列说法正确的是()

A．M(2)＝3 B．?x≥1，M(x)≥4

C．M(x)有最大值 D．M(x)最小值为0

;所以M(2)＝(2＋1)2＝9，故A错误；当?x≥1时，M(x)＝(x＋1)2≥(1＋1)2＝4，故B正确；由M(x)＝(x＋1)2(x－1或x0)可知，函数无最大值，故C错误；当x－1或x0时，M(x)0，当－1≤x≤0时，0≤M(x)≤1，所以M(x)最小值为0，故D正确．故选BD.

;;D;A．D(x)是偶函数

B．D(x)是单调函数

C．D(x)的值域为[0，1]

D．D(π)D(3.14);解析：对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x?Q时，x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，因此A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，因此B不正确；对于C，由函数的解析式可知，D(x)的值域为{0，1}，因此C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)D(3.14)，因此D不正确．故选A.

;;A;2．(5分)(2024·山东日照二模)已知幂函数的图象过点(2，4)，则函数的解析式为()

A．y＝2x B．y＝x2

C．y＝log2x D．y＝sinx

解析：设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函数的解析