第三章 微专题一　不等式的证明.pptxVIP

简洁实用高效微专题一不等式的证明数学

内容索引关键能力提升第一部分考点1移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式考点2将不等式拆分为两个函数证明不等式010203课时作业第三部分考点3利用放缩法证明不等式

能利用导数证明不等式，掌握证明不等式的常用方法，如构造法、双函数最值法、放缩法等，了解一些基本的构造方法和常用的放缩公式．

互动探究·考点精讲关键能力提升第分部一

考点1移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式【例1】（2024·河北保定三模）已知函数f(x)＝x2－ax＋lnx，x＝1为f(x)的极值点．(1)求a的值；

(2)求证：f(x)≤2x2－4x.【解】证明：由(1)可知，f(x)＝x2－3x＋lnx，要证f(x)＝x2－3x＋lnx≤2x2－4x，即证x2－x－lnx≥0.所以当x∈(0，1)时，g′(x)0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增，当x＝1时，g(x)取得极小值，也是最小值．因为g(1)＝0，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≤2x2－4x.

规律总结1．若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可根据含自变量的一边构造函数，求函数的最值，利用最值证明不等式．2．若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．

考点2将不等式拆分为两个函数证明不等式【例2】已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，求证：xf(x)－ex＋2ex≤0.

规律总结1．若直接求导比较复杂或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．2．等价变形的目的是求导后能简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商的形式，便于求导后找到极值点．

再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.

考点3利用放缩法证明不等式【例3】（2024·内蒙古赤峰三模）已知x∈(0，2).(1)比较sinx，x的大小，并证明；【解】xsinx，x∈(0，2).证明如下：令g(x)＝x－sinx，x∈(0，2)，则g′(x)＝1－cosx0，∴g(x)在(0，2)上单调递增，g(x)g(0)＝0，即x∈(0，2)时，xsinx.

【解】证明：由(1)得x∈(0，2)时，esinxex，令f(x)＝ex(2－x)－(2＋x)，x∈(0，2)，则f′(x)＝ex(1－x)－1.令g(x)＝ex(1－x)－1，则g′(x)＝－xex.

∵x∈(0，2)，∴g′(x)0，∴g(x)在(0，2)上单调递减，∴g(x)g(0)＝0，即f′(x)0，∴f(x)在(0，2)上单调递减，∴f(x)f(0)＝0，∴ex(2－x)－(2＋x)0，

规律总结1．利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有ex，lnx，sinx，cosx，tanx或其他多项式函数中的两种或两种以上，可考虑先利用不等式进行放缩，使问题简化，再构造函数进行证明．

2．常见的放缩(2)切线放缩：ex≥x＋1x－1≥lnx．利用切线放缩可以把指数式、对数式转化为一次式，有利于后续的求解．

考教衔接不等式“ex≥x＋1,x－1≥lnx”的推广及应用1．教材母题：（人教A版选择性必修第二册P99T12）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：(1)ex1＋x，x≠0；(2)lnxxex，x0.推广可得不等式ex≥x＋1x－1≥lnx.

2．教材母题：（人教A版选择性必修第二册P89例4）

3．应用上述不等式推广可得

【典例】（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；【解】因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1.当a≤0时，由于ex0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－10恒成立，所以f(x)在R上单调递减．当a0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，当x－lna时，f′(x)0，则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减；当x－lna时，f′(x)0，则f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．

【解】证明：证法一由(1)得，f(x