2.1.2 空间两点间的距离 学案（含答案）高二数学湘教版选择性必修2.docxVIP

2．1.2空间两点间的距离

学习目标

(1)借助特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离．

(2)会用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离

课前预习

教材要点

要点空间两点间的距离

空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，则A、B两点间的距离为|AB|＝____________．

特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝____________．

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．()

(2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．()

(3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．()

2．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是()

A.243B．221

C．9D．86

3．已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B，则|AB|为()

A．2B．4

C．6D．以上都不对

4．已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．

题型探究

题型1求空间两点间的距离

例1如图，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．

方法归纳

求空间两点间的距离的方法

巩固训练1已知A(3，2，1)，B(1，0，5)，求线段AB的中点M到原点的距离．

题型2利用距离公式求空间点的坐标

例2设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离等于它到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．

方法归纳

由空间两点之间的距离求点的坐标的方法

巩固训练2在空间直角坐标系O-xyz中，若y轴上点M到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标为()

A．(0，1，0)B．(0，－1，0)

C．(0，0，3)D．(0，0，－3)

题型3空间两点间距离公式的应用

例3已知空间直角坐标系O-xyz中一点M(2，－1，3)，N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，求M，N两点的最短距离．

方法归纳

利用空间两点间距离公式解题的类型

巩固训练3已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则()

A．△ABC是等腰三角形

B．△ABC是直角三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．三点构不成三角形

参考答案

课前预习

[教材要点]

要点

x

[基础自测]

1．(1)×(2)×(3)×

2．解析：|AB|＝?3?22

答案：D

3．解析：空间直角坐标系O－xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B(－1，－2，3)，所以|AB|＝2.

答案：A

4．解析：设点P(0，0，z)．则由|PA|＝|PB|，

得0?4

＝0+52

答案：(0，0，6)

题型探究·课堂解透

例1解析：

以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，

∴|AD1|＝22

|AB1|＝2?22

|AC1|＝2?02

巩固训练1解析：依题意，得点M的坐标为3+12

所以|MO|＝22

即点M到原点的距离为14.

例2解析：因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x，0，0)，

因为|PP1|＝2|PP2|，

所以x?02

2x?02

解x＝±1，所以P点坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．

巩固训练2解析：由M在y轴上，不妨设M为(0，y，0)，

由|PM|＝QM得

∴M(0，－1，0)．

答案：B

例3解析：N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，所以可设点N(m，－2m＋1，0)，

由空间两点之间的距离公式，得

|MN|＝m?2

＝5m

令t＝5m2－12m＋17＝5m?652＋

当m＝65时，t的最小值为49

所以当m＝65时，MN的最小值为49

巩固训练3解析：因为|AB|2＝49，|BC|2＝98，|CA|2＝49，所以|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，且|AB|＝|CA|，所以这三点构成等腰直角三角形．

答案：C