2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）教师用-第1节　 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docxVIP

课标要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能用两个原理解决简单的实际问题.

【知识梳理】

1.分类加法计数原理

完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理的区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

[常用结论与微点提醒]

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成一件事.()

(2)在分步乘法计数原理中,每个步骤的方法都能单独完成一件事.()

(3)在运用计数原理时,分类的标准是唯一的.()

(4)在处理较为复杂的计数问题时,一定要先分类再分步.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)×

解析(2)中每个步骤无法单独完成一件事,各步缺一不可;(3)中分类标准并不唯一,但要标准一致、不重不漏;(4)中有时候也可以先分步再进行分类.

2.(苏教选修二P63T6原题)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有()

A.34种 B.43种

C.3×2×1种 D.4×3×2种

答案A

解析4名学生,每人有3种可选方案,根据分步计数原理,

4人共有3×3×3×3=34种,故选A.

3.(人教A选修三P11T1改编)乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项数为()

A.11 B.16

C.45 D.144

答案C

解析三个因式各取一项相乘可得展开式中的项,由分步乘法原理知项数为3×3×5=45.

4.(北师大选修一P162习题5-1T1改编)在1,2,3,…,200中,被5整除余1的数共有个.?

答案40

解析根据加法原理分两类:

第一类,末位为1,有1,11,21,…,191,共191-110+1=20个

第二类,末位为6,有6,16,26,…,196,共196-610+1=20个

综上,共20+20=40个.

考点一分类加法计数原理

例1(1)(2025·南宁质检)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有()

A.4种 B.6种

C.10种 D.16种

答案B

解析分两类:甲第一次踢给乙时,有3种满足条件的传递方式(如图):

同理,甲第一次踢给丙时,满足条件的也有3种传递方式,

由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6.

(2)椭圆x2m+y2n=1(m0,n0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},

答案10

解析因为椭圆的焦点在x轴上,所以mn,

以m的值为标准分类,分为四类.

第一类:m=5时,n有4种选择;

第二类:m=4时,n有3种选择;

第三类:m=3时,n有2种选择;

第四类:m=2时,n有1种选择.

由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).

思维建模使用分类加法计数原理的两个注意点

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏.

(2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能重复.

训练1(1)集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()

A.9 B.14

C.15 D.21

答案B

解析当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7.

当x≠2时,由P?Q,∴x=y.

∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.

因此满足条件的点共有7+7=14(个).

(2)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定个平面.?

答