[教学设计]初中数学 九年级上册 第二十四章 24.1 圆的有关性质（第2课时）.docxVIP

人教版初中数学九年级上册

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24.1圆的有关性质（第2课时）

教学目标

教学目标

1．探索并理解圆的对称性，体会圆的对称美．

2．掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用它们解决有关的证明与计算问题．

3．能利用垂径定理及其推论解决相关的实际问题，体会数学与生活实际的密切联系．

教学重点

教学重点

探索圆的对称性；垂径定理及其推论的应用．

教学难点

教学难点

垂径定理的探索与证明．

教学准备

教学准备

准备直尺、圆规和剪刀．

教学过程

教学过程

知识回顾

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如图，AB，CD，AC是弦，AB是直径．

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．如图，是优弧，是劣弧，是半圆．

【设计意图】带领学生复习与圆有关的一些概念，巩固基础，为本节课研究圆的性质做准备．

新知探究

一、探究学习

【问题】剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？

【师生活动】学生先自己动手操作，教师进行演示，然后小组讨论，得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

教师提示：要想证明这个结论，只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上即可．

学生根据提示，独立完成证明．

【答案】证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上除点C，D以外的任意一点．

过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′．

在△OAA′中，∵OA＝OA′，

∴△OAA′是等腰三角形．

又AA′⊥CD，

∴AM＝MA′．

即CD是AA′的垂直平分线．

这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称．

【新知】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

【设计意图】让学生在动手操作中发现圆的对称性，知道圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，掌握证明一个图形是轴对称图形的常用方法，体会圆的对称美．

【问题】如果我们在圆形纸片上任意画一条弦AB，如图，观察这个图形，它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴．

【师生活动】学生先独立操作，然后小组讨论得出答案．

【答案】如图，作出垂直于弦AB的直径CD，沿着这条直径所在的直线对折，图形在这条直径两侧的部分能完全重合，即图形关于这条直径所在直线对称．

【思考】设直径CD与弦AB垂直于点E（如图），在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中有哪些相等的线段和相等的弧？

【师生活动】学生独立操作、思考，得出答案：AE＝BE，＝，＝．

【思考】结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？

【师生活动】学生小组讨论，教师进行总结．

【新知】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

符号语言：∵CD是直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E．

∴AE＝BE，＝，＝．

这个定理也可以理解为一条直线若满足：①过圆心，②垂直于弦，则可以推出③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．

在这个定理中，①过圆心，②垂直于弦，这两个条件缺一不可，同时满足这两个条件时才能推出结论③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．

【设计意图】借助动图和动画，形象地展示圆的对称性，让学生在动手操作的过程中探索出垂径定理．加深学生对定理的理解，为学习垂径定理的推论做准备．

【问题】反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？

请在纸上画一个以点O为圆心的圆，在⊙O上任意画出一条弦CD（不是直径）．找到弦CD的中点E，过点E作⊙O的直径MN，MN与CD有什么位置关系？如果弦CD是直径呢？

【师生活动】学生先自己画图、测量，然后小组讨论交流，得出答案．

【答案】MN⊥CD．如果弦CD是直径，两条直径任何时候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．

猜想：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧．

【追问】你能对你的猜想进行证明吗？

【师生活动】学生独立思考，得出答案，教师进行总结．

【答案】已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，AP＝BP．

求证：CD⊥AB，＝，＝．

证明：连接OA，OB，则AO＝BO．

∴△AOB是等腰三角形．

∵AP＝BP，∴CD⊥AB．

∴＝，＝．（垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧）

【新知】垂径定理