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微分几何第一课 第1页，共32页，编辑于2022年，星期六 天衣岂无缝，匠心剪接成。 浑然归一体，广邃妙绝伦。 造化爱几何，四力纤维能。 千古寸心事，欧高黎嘉陈。 第2页，共32页，编辑于2022年，星期六 微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。 。 第3页，共32页，编辑于2022年，星期六 Euler（瑞士,1707-1783）：1736年首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。 第4页，共32页，编辑于2022年，星期六 G. Monge（法国,1746-1818）：在筑城垒这个实际问题的推动下，他1771年开始写了关于空间曲线论的论文，发表于1785年，他用的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴 趣。Monge写了第一本微分几何课本《分析 在 几何学上的应用》 ，这是微分几何最早的 一 本著作。1807年出版，这课本共印了五 版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见该 书在当时的重要作用。 第5页，共32页，编辑于2022年，星期六 F.Frenet(1816~1868)与J.Serret(1819~1885)分别于1847年和1851年独立地得出现在通称的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空间曲线论才最后统一起来。 第6页，共32页，编辑于2022年，星期六 高斯（德国，1777-1855，）：1827年，发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。 微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 第7页，共32页，编辑于2022年，星期六 R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几何。 第8页，共32页，编辑于2022年，星期六 克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。 在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。 第9页，共32页，编辑于2022年，星期六 射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛和示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉的里程碑。 20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼科夫等进一步发展了射影微分几何。 第10页，共32页，编辑于2022年，星期六 由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。 第11页，共32页，编辑于2022年，星期六 从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。 第12页，共32页，编辑于2022年，星期六 微分几何学