2026年高考数学一轮总复习考点规范练50翻折问题与探索性问题.docxVIP

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课时规范练50翻折问题与探索性问题

1.(15分)(2024·辽宁大连二模)已知一圆形纸片的圆心为O,直径AB=2,圆周上有C,D两点.如图,OC⊥AB,∠AOD=π6,点P是BD上的动点.沿AB将纸片折为直二面角,并连接PO,PD,PC,CD

(1)当AB∥平面PCD时,求PD的长;

(2)若OP⊥OD,求直线OP与平面PCD所成角的正弦值.

2.(17分)(2025·八省联考,19)在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,其中P为动点.

(1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.

(ⅰ)证明:平面PAC⊥平面ABC;

(ⅱ)求球O的半径.

(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.

3.(15分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,沿EF将四边形EFCD折起,使二面角A-EF-C的大小为60°,点M在线段AB上.

(1)若M为AB的中点,且直线MF与由A,D,E三点所确定平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线OD∥平面EMC.

(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°?若存在,求此时二面角M-EC-F的余弦值;若不存在,说明理由.

4.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC=

(1)求证:CD⊥平面PAD;

(2)求平面FAE与平面PAE夹角的余弦值;

(3)设点G在PB上,且PGPB=23,判断直线AG

课时规范练50翻折问题与探索性问题

1.解:(1)因为AB∥平面PCD,AB?平面POD,平面PCD∩平面POD=PD,

则AB∥PD,所以∠PDO=∠AOD=π

又OD=OP=1,

则PD=2ODcos∠PDO=2cosπ

(2)(方法1)因为平面AOC⊥平面DOP,平面AOC∩平面DOP=AB,OC?平面AOC,OC⊥AB,所以OC⊥平面DOP.

又OD,OP?平面DOP,

则OC⊥OD,OC⊥OP.

因为OP⊥OD,由OC=OP=OD=1,可得CD=CP=PD=2

设O到平面PCD的距离为d,

因为VO-PCD=VC-OPD,

所以S△PCD×d=S△OPD×CO,所以12×2×2×32×d=12×1×1×1,所以d=33.设OP与平面PCD所成的角为θ,

(方法2)因为OP⊥OD,∠AOD=π6

所以∠POB=π

如图,过点O作平面ABC的垂线OG.

因为平面AOC⊥平面DOP,平面AOC∩平面DOP=AB,OC?平面AOC,OC⊥AB,则OC⊥平面DOP.

又OG?平面DOP,所以OC⊥OG.

故OC,OB,OG两两垂直.

以O为坐标原点,OC,OB,OG所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(1,0,0),D(0,-32,12),P(0,12,32).所以PC=(1,-12,-32),CD=(-1,-32,12).易知OC=(1,0,0)是平面POD

则PC

令y=-2,得x=2+23,z=4+23,

则n=(2+23,-2,4+23).

设直线OP与平面PCD所成的角为θ,

则sinθ=|cosOP,n|=2+231×(2+23)2

2.(1)(ⅰ)证明:在△ACD中,由AC=CD=1,∠ADC=30°,得∠CAD=∠ADC=30°,所以AD=2ACcos∠DAC=2×1×cos30°=3,且∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°,即AB⊥AC.因为AB⊥AC,PC⊥AB,PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB?平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.

(ⅱ)解:以A为原点,AB,AC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,32,32),设球心O(a,b,c),半径为R,因为△ABC为直角三角形,所以其外心为BC边的中点(12,12,0),则a=12,b=1

由OA=OP,得14+14+c2=

(2)解:在平面PAC中,过点P作PG⊥AC,交AC延长线于点G,作GM∥AB,

则由(1)可知,AG=32,PG=3

设∠PGM=θ,θ∈(0,π),以点G为原点,分别以GM,AG所在直线为x轴、y轴,过点G且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则G(0,0,0),A(0,-32,0),B(1,-32,0),C(0,-12,0),P(32cosθ,0,32sinθ),所以CA=(0,-1,0),CB=(1,-1,0),