2026年高考数学一轮总复习考点规范练49利用空间向量求距离和空间角.docxVIP

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课时规范练49利用空间向量求距离和空间角

1.(12分)(2023·新高考Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.

(1)证明:BC⊥DA;

(2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值

2.(15分)(2024·新疆喀什三模)如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,∠B1BA=60°,AB=2A1B1=4,E是CD的中点.

(1)求证:直线AC⊥平面BDD1B1;

(2)求直线ED1与平面ABB1A1所成角的正弦值.

3.(14分)(2024·天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1C1的中点,M是DD1的中点.

(1)求证:D1N∥平面CB1M;

(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值;

(3)求点B到平面CB1M的距离.

4.(15分)(2024·广东广州模拟预测)如图所示的空间几何体是以AD为轴的14圆柱与以ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成,其中AD为半圆柱的母线,点G为CD的中点

(1)求证:平面BDF⊥平面BCG;

(2)当AB=4,平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为155时,求点E到直线BG的距离

课时规范练49利用空间向量求距离和空间角

1.(1)证明:如图1,连接AE,DE.

∵DB=DC,E为BC的中点,

∴BC⊥DE.

∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,

∴△ABD,△ACD均为等边三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.

又E为BC中点,∴BC⊥AE.

∵AE,DE?平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.

又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.

图1

图2

(2)解:设BC=2,由已知可得DA=DB=DC=2

DE为等腰直角三角形BCD斜边BC上的中线,∴DE=1.

∵△ABD,△ACD为等边三角形,

∴AB=AC=2.∵AB2+AC2=BC

∴△ABC为等腰直角三角形,

∴AE=1.易知DE=1.

∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.

由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,

∴AE,BC,DE两两垂直.

以E为坐标原点,ED,EB,EA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),∴AB=(0,1,-1)

∵EF=DA=(-1,0,1),∴F(-1,0,1),∴BF=(-

设平面ABD的法向量m=(x,y,z),

则m

令z=1,则x=1,y=1,即平面ABD的一个法向量m=(1,1,1).

设平面ABF的法向量n=(u,v,w),则n·AB=0,n·BF=0,即v-w=0,-u-v+w=0,令w=1,则v=

∴sinθ=3

2.(1)证明:连接AC交BD于点O,连接A1C1交B1D1于点O1,连接OO1.

∵四棱台ABCD-A1B1C1D1是正四棱台,∴OO1⊥平面ABCD.

又AC?平面ABCD,∴OO1⊥AC.

又AC⊥BD,OO1∩BD=O,OO1,BD?平面BDD1B1,∴AC⊥平面BDD1B1.

(2)解:在等腰梯形ABB1A1中,∠B1BA=60°,AB=2A1B1=4,

则AA1=BB1=4-22

在等腰梯形BDD1B1中,BD=42,B1D1=22,BB1=DD1=2,

∴OO1=2

∵OB,OC,OO1两两互相垂直,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,-22,0),B(22,0,0),B1(2,0,2),C(0,22,0),D(-22,0,0),E(-2,2,0),D1(-2,0,

∴AB=(22,22,0),BB1=(-2,0,2),D1E=(0,2

设平面ABB1A1的一个法向量为n=(x,y,z),

则n

取x=1,则y=-1,z=1,故n=(1,-1,1).

设直线ED1与平面ABB1A1所成角为θ,则sinθ=|cosD1E,n|=|D1E·n||D1E

3.(1)证明:如图,取B1C的中点H,连接NH,MH.

∵N为B1C1的中点,H为B1C的中点,

∴NH∥CC1,且NH=12CC1

∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1,

∴CC1∥DD1,CC1=DD1,∴NH∥DD1,且NH=12DD1

∵M为DD1的中点,∴D1M=12DD1,∴D1M∥NH,D1M=NH

∴四边形D1NHM为平行四边形,

∴D1N∥MH.又D1N?平面CB1M,MH?平面CB1M,∴D1N∥平面CB1M.

(2)解:∵A1A⊥平面ABCD,AB