1.2.2 充分条件与必要条件（同步课件）-2025-2026学年高中数学必修第一册（沪教版2020）.pptxVIP

第一章

集合与逻辑;

集合与逻辑

1.1集合初步1.2常用逻辑用语

充分条件与必要条件;

学习目标

通过具体实例，了解充分条件、必要条件以及充要条件的

含义，并能在简单的情形下作出正确的判断.

通能借助推出关系判断充分条件、必要条件.

在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养.;

课题引入

同学们，咱们来玩个小游戏。假如我说：“如果天下雨，那么地面

湿。”大家想想，在什么情况下，能确定地面一定湿了呢?没错，就是天下雨的时候。那如果地面湿了，是不是一定是因为天下雨呢?这就是咱们今天要研究的内容—充分条件、必要条件和充要条

件。;

来个数学中熟悉的例子!

例“x=1”时“(x-1)(x+2)=0”一定

成立，所以“x=1”是“(x-1)(x+2)=0”

的一个充分条件；

同理“x=-2”也是(x-1)(x+2)=0”的一个充分条件.;

开关A闭合灯泡S不一定亮，但是开关A

不闭合，灯泡S一定不亮.

要使得灯泡S亮，开关A必须闭合，开关A闭合是灯泡S亮的不可或缺的条件，所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的必要条件，同理“开关B闭合也是“灯泡S亮”的必要条件;

定义对于两个陈述句α与β,如果α→β,就称α是β的充分条件，亦

称β是α的必要条件.;

典例分析

例1判断下列各组中的α分别是的什么条件，并说明理由.

(1)a:四边形ABCD是正方形，

β:四边形ABCD的四个内角都是直角；

(2)α:x2是有理数，β:x是有理数(2)因为有理数(r、s∈Z)的平方;

要准确判断α是β的什么条件，

首先必须弄清楚“若α,则β”的命题的真假

如果是真，也就是α→β,则α是β的充分条件.

如果是假，也就是α推不出β,则α不是β的充分条件

其次，必须弄清楚“若β,则α”的命题的真假，

如果是真，也就是αβ,则α是β的必要条件，

如果是假，也就是β推不出α,则a不是β的必要条件;

新知探究

问题3如图(3)中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮?

只要开关A闭合，灯泡S一定亮.

要使得灯泡S亮，开关A一定是闭合的.

图(3)所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的一??充分条件，

同理“灯泡S亮”也是

“开关A闭合”的一个充分条件.;

定义对于两个陈述句α与β,如果既有α=β,又有β=α,就称α是

β的充分必要条件，简称充要条件，记作α?β,读作“a与等价”或“α成立当且仅当β成立”;

开关A闭合与灯泡S亮不亮没有任何关

联，这里“开关A闭合”是“灯泡S亮”的既非充分又非必要的条件，

例“x1”是“x-20”的既非充分

又非必要的条件，因为x1推不出x-20,反之x-20也推不出x1.;

典例分析

例2指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分非必要条件”“必

要非充分条件”“充要条件”“既非充分又非必要条件”).

(1p:x=1,q:x-1=√x-1;

解当x=1时，x-1=1x-1成立；

当x-1=x-1时，x=1或x=2.

p是q的充分非必要条件.

(2p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;;

典例分析

(3)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;

解由q:(x+2)2≠y2,

得x+2≠y,且x+2≠-y,又p:x+2≠y,

故p是q的必要非充分条件.

(4)p:a是自然数；q:a是正数.

解0是自然数，但0不是正数，故p≠q;

又是正数，但不是自然数，故q#p.

2

故p是q的既非充分又非必要条件.;

例3已知m是实数，集合M={2,3,m+6},N={0,7}.

求证：“m=1”是“M∩N={7}”的充要条件.

解先证充分性(即证m=1→M∩N={7}).

再证必要性(即证M∩N={7}→m=1)

当m=1时，M={2,3,7}.又因为N={0,7},

当M∩N={7}时，

由7∈M,得m+6=7

因此m=1.

所以M∩N={7}

综上所述，“m=1”是“M∩N={7}”的充要条件;

分条件”“充要条件”“既非充分又非必要条件”).

(1α:x20,β:x0;

解a:x20,则x0或x0,β:x0,

故α是β的必要非充分条件.

(2)α:a能被6整除，β:a能被3整除；

解a:a能被6整除，故也能被3和2整除，β:a能被3整除，

故α是β的充分非必要条件.;

(3)α:两个角不都是直角，β:两个角不相等；

解a:两个角不都是直角，