专题21.9一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】.pdfVIP

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

专题21.9一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）

【名师点睛】

一、列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

二、形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．

②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．

运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，

可运用直角三角形的性质列方程求解．

【典例剖析】

22

【例1】（2022春•西湖区校级月考）某花圃需要绿化的面积为52000米，施工队在绿化了28000米后，

将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

2

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米？

（2）该项绿化工程中，如图有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间

隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的

2

两个小门，此时花圃的面积刚好为45米，求此时花圃的长和宽．

【分析】（1）直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程，进而得

出等式求出答案；

2

（2）利用矩形绿地，它们的面积之和为45米，进而得出等式求出答案．

2

【解析】（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米，

根据题意得：﹣＝4，

解得：x＝2000，

经检验，x＝2000是原方程的解，

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；

（2）设花圃的宽度为x米，则BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x，

根据题意，得（24﹣3x）x＝45，

解得：x1＝3，x2＝5．

∵当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，

∴不符合题意，舍去．

∴宽为5米，长为9米．

答：花圃的长为9米，宽为5米．

【变式】．（2020春•平桂区期中）如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以

1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以1.5cm/s的速度移动，在B点停止，

点P，Q分别从A、C同时出发4秒钟后PQ＝2cm．

（1）求证：∠ACB＝90°；

（2）若点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求解；

（2）PC＝（6﹣x）cm，CQ＝1.5xcm，BQ＝（8﹣1.5x）cm，利用勾股定理和PQ＝BQ列出方程，求出

答案．

【解析】（1）P、Q同时出发4秒钟后：

2222

PC＝（6﹣4×1）＝4，QC＝（1.5×4）＝36，

22

∴PC+QC＝4+36＝40，

∵PQ＝2cm，

∴PQ2＝40，

222

∴PC+QC＝PQ，

∴∠PCQ＝90°，即∠ACB＝90°；

（2）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则：

PC＝AC﹣AP＝（6