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专题11三角形的综合问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案(解析版)【江苏专用】.pdf

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备战2021年中考数学经典题型讲练案(江苏专用)

专题11三角形的综合问题

【方法指导】

1.全等三角形解决问题的常见技巧:

(1)全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL(适用于直角三角形).

(2)作辅助线构造全等三角形

①把三角形一边的中线延长,把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律.

②证明一条线段等于两条线段的和,可采用“截长法”或“补短法”,这些问题经常用到全等三角形来证明.

2.等腰三角形解题技巧:

(1)等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

重要手段.

(2)在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中

线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决

问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析.

3.等边三角形常用方法与思路:

(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质

为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,

解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

(2)等边三角形的特性如:三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直

角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.

(3)等边三角形判定最复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取恰当的判定方法,一般地,若从一般

三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想法获取一个60°的

角判定.

【题型剖析】

【考点1】三角形有关角的综合计算

【例1】(2020春•南京期末)【概念认识】

如图①,在∠ABC中,若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫做∠ABC的“三分线”.其中,BD是

“邻AB三分线”,BE是“邻BC三分线”.

【问题解决】

(1)如图②,在△ABC中,∠A=70°,∠B=45°,若∠B的三分线BD交AC于点D,则∠BDC=85

或100°;

(2)如图③,在△ABC中,BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线,且BP⊥CP,

求∠A的度数;

【延伸推广】

(3)在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交

于点P.若∠A=m°,∠B=n°,直接写出∠BPC的度数.(用含m、n的代数式表示)

【分析】(1)根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况,画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的

度数;

(2)根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线,且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB=

135°,进而可求∠A的度数;

(3)根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.分四种情况画图:情况一:

如图①,当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时;情况二:如图②,当BP和CP分

别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时;情况三:如图③,当BP和CP分别是“邻BC三分线”、

“邻AC三分线”时;情况四:如图④,当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时,再

根据∠A=m°,∠B=n°,即可求出∠BPC的度数.

【解析】(1)如图,

当BD是“邻AB三分线”时,∠BD′C=70°+15°=85°;

当BD是“邻BC三分线”时,∠BD″C=70°+30°=100°;

故答案为:85或100;

(2)∵BP⊥CP,

∴∠BPC=90°,

∴∠PBC+∠PCB=90°,

又∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线,

22

∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,

33

22

∴∠ABC+∠

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