2025届云南省昆明市官渡区西南大学官渡实验学校高三上学期期中综合素质测评数学试卷.docVIP

2025届云南省昆明市官渡区西南大学官渡实验学校高三上学期期中综合素质测评数学试卷

一、单选题

(★★)1.下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若向量，，且，，三点共线，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知抛物线E：的焦点为F，以F为圆心的圆与E交于A，B两点，与E的准线交于C、D两点，若，则（）

A．3

B．4

C．6

D．8

(★★★)7.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7

根据表中的数据可得到经验回归方程为.，则（）

A．y与x的样本相关系数

B．

C．表中维修费用的第60百分位数为6

D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

(★★)10.双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（）

A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为

B．双曲线C的离心率为

C．直线与的斜率之积为

D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2

(★★)11.如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（）

A．的面积为

B．

C．平面平面

D．三棱锥的体积为

三、填空题

(★★)12.已知展开式的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为________.

(★★)13.已知，则的值为____________．

(★★)14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁?查理?卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法.

四、解答题

(★★)15.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求.

(★★★)16.在六面体中，平面，，且底面为菱形.

(1)证明：平面.

(2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.

(★★)17.已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称．

(1)求函数的解析式，并求使成立的的取值范围；

(2)若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，设函数，求在上的值域．

(★★★)18.2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：

年龄

周平均锻炼时长

合计

周平均锻炼时间少于4小时

周平均锻炼时间不少于4小时

50岁以下

40

60

100

50岁以上（含50）

25

75

100

合计

65

135

200

(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼