高三数学 第一轮复习 11：函数的奇偶性.pdf

高三数学第一轮复习11函数的奇偶性

·知识梳理·

模块01：函数的奇偶性

1、函数奇偶性的定义：

yf(x)xxD,f(x)f(x)

偶函数：如果对于函数定义域D内的任意实数，都有并且，那么就把函数

yf(x)叫做偶函数。

yf(x)xxD,f(x)f(x)

奇函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有都有并且，那么就把函

D

数yf(x)叫做奇函数。

2、判断函数奇偶性的方法：

步骤：

第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；

f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

第2步：找与之间的关系，若,那么就叫做偶函数；

f(x)f(x),那么f(x)就叫做奇函数。

[注意]

定义本身蕴涵着：

①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；

②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；

③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——f(x)f(x)。

模块02：函数的奇偶性的应用

关于函数奇偶性的几个重要结论：

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。

（2）若奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0。

f(x)yf(x)f(x)yf(x)y

（3）函数是奇函数曲线关于原点对称；函数是偶函数曲线关于轴对称。

（4）f(x)既是奇函数又是偶函数f(x)0（定义域关于原点对称）．

（5）若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)f(x)f(x)是偶函数，G(x)f(x)f(x)是奇函数。

1

（6）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。

1111

f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]。其中，y[f(x)f(x)]为偶函数，y[f(x)f(x)]为奇函数。

2222

f(x)g(x)DDDDf(x)g(x)f(x)g(x)

（7）、是定义域为、的奇函数，那么在12上，是奇函数，是偶函数．类

12

似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝奇”。

nn12

（8）对于多项式函数f(a)axaxaxaxa：

nn1210

若f(x)是奇函数f(x)偶