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高三数学第一轮复习08指数函数

·知识梳理·

模块01：指数函数的定义与图像

1、指数函数的概念：

定义：当底数固定，且时，等式确定了变量随变量变化的规律，称为底为的指数函数（exponentialfunction）。

2、指数函数的定义域：

因为对所有实数都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数。

3、指数函数的图像：

定义

函数叫做指数函数

图像

[注]：可用描点法作出指数函数的图像。

模块02：指数函数的性质

1、指数函数的单调性：

当a1时，指数函数在上严格增函数；当0a1时，指数函数在上是严格减函数.

[知识注释]

当时，若，则，由幂的基本不等式有，即.此时，称指数函数（）在上严格增函数，即随着的增大而（严格）增大。

2、指数函数的图像和性质：

函数名称

指数函数

定义

函数叫做指数函数

图像

图像特征

（1）图像都在轴上方，无限趋近于x轴，但永不相交

（2）过定点

（3）自左至右图像上升

（3）自左至右图像下降

函数性质

（1）定义域为，函数值恒正

（2）当时，

（3）在上是严格增函数

（3）在上严格减函数

3、有关指数型函数的性质应用

指数函数在生产实际和科学研究中有很多应用.银行存款和贷款、GDP的增长、人口增长等都有可能涉及指数函数。

指数增长：当时，不仅随着的增长而增长，且因为，随着的增长，增长得越来越快.这就是所谓的“指数增长”。

·典例精讲·

模块01：指数函数的定义与图像

例1-1下列是指数函数的是

A． B． C． D．

【答案】：

【解析】：根据指数函数的解析式，，，不满足，故选：。

例1-2若函数为指数函数，则．

【答案】：3

【解析】：函数为指数函数，，解得：，故答案为：3

例1-3若点在函数的图像上，则的值为

A． B．1 C． D．0

【答案】：

例1-4函数的定义域是

【答案】：，

【解析】：要使函数有意义，则，即，故函数的定义域为，．故答案为：，．

例1-5

（1）已知，且，，，则关于函数，说法正确的是

A．函数，都单调递增 B．函数，都单调递减

C．函数，的图像关于轴对称 D．函数，的图像关于轴对称

【答案】：

【解析】：根据题意，若，则，则，而，故函数，的图像关于轴对称；故选：．

（2）如图中的曲线是指数函数的图像，已知的值分别取，，，，则相应于曲线，，，的依次为

A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，

【答案】：

【解析】：当时，，直线与，，，的交点分别为，，，，从图像可知它们的纵坐标分别为：，，，，所以曲线，，，的的值依次为：，，，．故选：．

（3）关于的方程的解集为

【答案】：

【解析】：分别画出与的图象，由图象可得，故关于的方程的解集为，故答案为：

模块02：指数函数的性质

1、过定点和象限问题

例2-1

（1）函数且的图像均过定点．

【答案】：

【解析】：，且，函数且的图像均过定点，故答案为：．

（2）函数的图像必经过点

A． B． C． D．

【答案】：

【解析】：当时，无论取何值，，函数且的图像必经过定点，故选：．

（3）函数的图像恒过定点，若点在直线上，则的最小值是．

【答案】：

【解析】：令的幂指数，可得，此时求得，故定点坐标为，

在直线，，，当且仅当时取等号，的最小值是，故答案为：．

（4）已知函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】：A

【解析】：由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，函数是增函数，图象不经过第二象限，，解得：．故选：．

例2-2如果，，那么函数的图像在

A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限

【答案】：

【解析】：，的图像过第一、第二象限，且是单调增函数，经过，

的图像可看成把的图像向下平移个单位得到的，

故函数的图像，经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选：．

2、单调性相关问题

①利用指数函数单调性比较大小

例2-3下列各式比较大小正确的是

A． B．

C． D．

【答案】：

【解析】：对于指数函数，当时，函数为增函数，故错误，当时，函数为减函数，故正确，由于，对于指数函数，当时，函数为增函数，故错误，由于，，故错误，故选：。

例2-4已知，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】：

【解析】：已知，，，而函数是上的增函数，，则，故选：．

②有关指数不等式的求解

例2-5

（1）若，则实数的取值范围是

【答案】：

（2）不