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高三数学第一轮复习11函数的奇偶性

·知识梳理·

模块01：函数的奇偶性

1、函数奇偶性的定义：

偶函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有并且，那么就把函数叫做偶函数。

奇函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有都有并且，那么就把函数叫做奇函数。

2、判断函数奇偶性的方法：

步骤：

第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；

第2步：找与之间的关系，若,那么就叫做偶函数；

,那么就叫做奇函数。

[注意]

定义本身蕴涵着：

①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；

②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；

③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——。

模块02：函数的奇偶性的应用

关于函数奇偶性的几个重要结论：

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。

（2）若奇函数在处有定义，则。

（3）函数是奇函数曲线关于原点对称；函数是偶函数曲线关于轴对称。

（4）既是奇函数又是偶函数（定义域关于原点对称）．

（5）若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数。

（6）若函数的定义域关于原点对称，则可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。

。其中，为偶函数，为奇函数。

（7）、是定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝奇”。

（8）对于多项式函数：

若是奇函数偶次项的系数全为零；若是偶函数奇次项的系数全为零。

·典例精讲·

模块01：函数的奇偶性

例1-1判断下列函数的奇偶性：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

（5）；（6）；

（7）；（8）

【答案】：（1）既奇又偶函数;（2）奇函数;（3）非奇非偶函数;(4)奇函数;

（5）奇函数;（6）奇函数;（7）奇函数;（8）偶函数。

【解析】：

（1）根据，所以关于原点对称，又记.

是既奇又偶函数；

（2）函数的定义域是关于原点对称，，

，∴函数是奇函数．

（3），其定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数；

（4）函数的定义域关于原点对称．

，

即，∴函数是奇函数．

（5）所以定义域为.记.对任意的，都有并且，因此是一个奇函数.

（6）的定义域为.记.在中的任何一个实数，都有并且，因此，是一个奇函数；

（7）定义域为，记.在中的任何一个实数，都有并且，，所以是一个奇函数；

（8）函数定义域为，记对任意给定的，因，

故而对于给定的，因，，，综上所述是偶函数。

例1-2有下列六个命题：

①若函数定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数；

②若函数定义域关于原点对称，则该函数为奇函数或偶函数；

③若定义域内存在一实数，使得，则为奇函数；

④若定义域内存在一实数，使得，则不为偶函数；

⑤既是奇函数又是偶函数的函数一定是；

⑥偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点个数一定是偶数，以上命题中正确的为．

【答案】：①④⑥

【解析】：对于①，由函数的奇偶性的定义可知，若函数定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数；所以①正确；

对于②，若函数定义域关于原点对称，函数不一定为奇函数或偶函数，反例：

所以②不正确；

对于③，若定义域内任意一实数，使得，则才为奇函数，题目条件为存在，不符合；所以③不正确；

对于④，若定义域存在一实数，使得，则不为偶函数；所以④正确；

对于⑤，因为函数，满足函数的奇偶性的定义，所以既是奇函数又是偶函数的函数一定是；所以⑤不正确；

对于⑥，由偶函数的对称性可知，偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；所以⑥正确；

故答案为：①④⑥。

例1-3已知函数（，常数），讨论函数的奇偶性，并说明理由.

【解析】：当时，，对任意，，为偶函数。

当时，，，函数既不是奇函数，也不是偶函数。

例1-4已知函数（常数）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

【解析】：（1）若为奇函数，必有，得，当时，

，∴当且仅当时，为奇函数。

又，.对任意实数，都有，∴不可能是偶函数。

模块02：函数的奇偶性的应用

根据函数奇偶性(对称性)求函数值或解不等式

例2-1

（1）设是定义在上的奇函数，当时，，则_________

【答案】：-3

【解析】：.

（2）已知、是定义在上的偶函数和奇函数，则________

【答案】：

【解析】：

例2-2

（1）已知函数，若，则=__________

【答案】：

【解析】：为