高三数学 第一轮复习 07：幂函数.doc

PAGE

PAGE1

高三数学第一轮复习07幂函数

·知识梳理·

模块01：幂函数的定义与图像

1、定义：当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数。

使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域.幂函数的定义域可以是不同的的，它与指数的值有关．

注意：幂函数的底数是变量，系数是1，。

2、幂函数的图像

①当时，的图像关于原点成中心对称；

当时，的图像关于轴对称；

②，

当是偶数，是奇数时，的图像关于轴对称；

当是奇数，是奇数时，的图像原点成中心对称；

当是奇数，是偶数时，只在第一象限有图像(指数大于0时，加上原点)。

模块02：幂函数的性质

1、当时，幂函数有下列性质：

①图像都通过点；

②在区间上严格递增；

③在第一象限内，时，图像是向下凸的上升曲线；当时，图像是向上凸的上升曲线．

2、当时，幂函数有下列性质：

①图像都通过点；

②在区间上严格递减，图像是向下凸的下降曲线．（在第一象限内越大，图像下落的速度越快）

[注意]

无论取任何实数，幂函数的图像必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

模块03：函数图像变换

1、平移变换（左＋右－，上＋下－）

①的图象，由的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位得到；

②的图象，由的图象沿y轴方向向上()或向下()平移个单位得到。

2、对称变换

①与的图象关于轴对称；

②与的图象关于轴对称；

③与的图象关于原点对称。

3、翻折变换

①要得到的图象，可先画出的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；

②要得到的图象，可先画出的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到。

4、伸缩变换*（学三角函数时会重点介绍）

①的图象，可由的图象上每一个点的纵坐标伸长或缩短为原来的倍而得到；

②的图象，可由的图象上每一个点的横坐标伸长或缩短为原来的而得到。

·典例精讲·

模块01：幂函数的定义与图像

例1-1

（1）已知幂函数的图象经过点，则的值为________.

【答案】：

【解析】：因为为幂函数，所以，即代入点，得，即，

所以，所以.故答案为：.

（2）幂函数的定义域为（用区间表示）

【答案】：,,

【解析】：幂函数，，解得，函数的定义域为，，．故答案为：，，．

例1-2求下列函数的定义域，并作出它们的大致图像.

1、；2、；3、

【答案】：1、；2、；3、R

【解析】：提示画函数图像，先找点，一般找五个点，用平滑曲线连接即可.

例1-3下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（）

A．①，②，③，④

B．①，②，③，④

C．①，②，③，④

D．①，②，③，④

【答案】：B

【解析】：注意到函数，且该函数是偶函数，其图像关于轴对称，该函数图像应与②对应；的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；，其图像应与④对应。故选：B。

例1-4写出下列函数的定义域，并指出哪些图像关于原点成中心对称，哪些图像关于轴对称：

1、；2、；3、；4、；5、；6、

【答案】：关于原点中心对称（1）（6）；图像关于轴对称（3）（5）

【解析】：观察幂指数是奇数或者图像关于原点对称；幂指数是偶数或者图像关于轴对称。

例1-5已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()

A．cba B．abc

C．bca D．cab

【难度】★★【答案】A

【解析】由幂函数图像特征知，，，，所以选A。

例1-6已知幂函数，及直线、、将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是

A．Ⅵ、Ⅶ B．Ⅳ、Ⅷ C．Ⅲ、Ⅷ D．Ⅲ、Ⅶ

【答案】

【解答】解：，若与，则与，幂函数的图象在第一象限中经过的

“卦限”是Ⅳ、Ⅷ，故选：。

模块02：幂函数的性质

例2-1以下结论正确的是（）

A．当时，函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过、两点

C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大

D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限

【答案】：D

【解析】：对于A选项，当时，函数的定义域为，所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；

对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；

对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确。故选：D。

例2-2

（1）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（）

A．，均为奇