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高三数学第一轮复习12函数的单调性

·知识梳理·

模块01：单调性的概念

函数单调性的定义：对于定义在上的函数，设区间是的一个子集.对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总有，就称函数在区间上是增函数（increasingfunction）；而如果总有，就称函数在区间上是减函数（decreasingfunction）。

特别地，如果总有，就称函数在区间上是严格增函数（strictlyincreasingfunction）；而如果总有，就称函数在区间上是严格减函数（strictlydecreasingfunction）。“严格

增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的单调性。

模块02：用定义法判断函数的单调性

单调性证明四部曲（取值、作差、变形、定号的顺序得结论）

①任取值：,属于定义域，不妨设；

②作差：；

③变形：一般情况下是变形为几个式子乘积的形式；

④判断：的符号，并得出结论。

模块03：单调性的应用及常用基本函数的单调性

1、单调区间：如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么就称函数在区间上是单调函数（monotonicfunction），并称区间是函数的一个单调区间（monotonicinterval）。

【注意】

①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；

②一个函数有多个单调递增或递减区间时有的不能用“”连接；如的单调递减区间时和，而不能写成。

2、函数数乘/加减/倒数/乘除/开方的单调性判断：

①增函数×(正数)=增函数增函数×(负数)=减函数

减函数×(正数)=减函数减函数×(负数)=增函数

②增函数+增函数=增函数增函数－减函数=增函数

增函数+增函数=增函数增函数－减函数=增函数

③函数值恒正/负：=减函数=增函数

④函数值恒正：增函数×增函数=增函数函数值恒负：减函数×减函数=增函数

⑤函数值恒正：=增函数

3、复合函数的单调性判断：适用于形如的复合函数，具体规则如下表：

函数

增减情况

内函数

严格增

严格增

严格减

严格减

外函数

严格增

严格减

严格增

严格减

严格增

严格减

严格减

严格增

的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数单调性相同时，为严格增函数；单调性不同时为严格减函数。

[注]在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。

4、单调性的其它等价形式：

①对于任意的，都有，表示是严格增函数；

对于任意的，都有，表示是严格减函数。

②对于任意的，都有(或)，表示是严格增函数；

对于任意的，都有(或)，表示是严格减函数。

5、函数单调性的常用结论：

①应用已知函数的单调性。（一次函数、反比例函数、二次函数、“耐克”函数）

1）一次函数，在R上严格单调递增；在R上严格单调递减；

2）反比例函数，在和上严格单调递减；

在和上严格单调递增；

3）二次函数，在上严格单调递减，在上严格单调递增；

在上严格单调递增，在上严格单调递减；

4）“耐克”函数，若，在和上是严格减函数，在和上是严格增函数。

5）幂函数在上严格单调递增；在上严格单调递减；

6）指数函数，在R上严格单调递增；在R上严格单调递减；

7）对数函数，在上严格单调递增；在上严格单调递减。

②在研究形如的函数的单调性时，需分两种情况讨论：

1）当，在和上是严格增函数；

2）当时，在和上是严格减函数，在和上是严格增函数。

模块04：分段函数的单调性

若函数，在区间上是严格增函数，在区间上是严格增函数，则在区间上不一定是严格增函数，若使得在区间上一定是严格增函数，需补充条件：。

模块05：函数的奇偶性与单调性

单调性与奇偶性之间的关系：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反。

·典例精讲·

模块01：单调性的概念

例1-1已知函数是定义在,上的函数，根据下列条件，可以断定是严格增函数的是()

A．对任意，都有

B．对任意，都有

C．对任意，，，且，都有

D．对任意，，，且，都有

【答案】D

【解析】A.B表示不超过的最大整数，C.单调性的定义，严格增一定增，增不一定严格增。故答案选D。

例1-2定义在上的函数对任意两个不等的实数，，总有成立，则必有（）

A．函数在上是奇函数 B．函数在上是偶函数

C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数

【答案】D

【解析】，当时，，当时，，所以函数在上是减函数。故选：D。

例1-3已知函数是定