高三数学 第一轮复习 09：对数函数.pdf

高三数学第一轮复习09对数函数

·知识梳理·

模块01：对数函数的定义与图像

aa0,a1xaylogxyx

1、定义：当固定，且时，以为底的对数a确定了变量随着变量变化的规律，称为底为

a的对数函数（logarithmicfunction）

2、对数函数的定义域：因为只有当x0时logx才有意义，所以对数函数的定义域是正实数的全体.

a

即ylogx的定义域为{x|x0}.

a

3、对数函数的图像：

ylogxa10a1

a

图像

[注]：可用描点法作出对数函数的图像

4、对数函数与指数函数的关系

①对数函数ylogx是指数函数yax的反函数(因为ylogx是y的解，所以说对数运算是指数运算的一种

aaax

逆运算)。

②指数函数yax的图像与其同底对数函数ylogx的图像关于直线yx对称，指数函数(原函数)过点(a,b)，则

a

对数函数(反函数)过点(b,a)，反之亦然。

1

模块02：对数函数的性质

1、规定对数函数的底：a0,a1。

ylogxylogxx

2、函数a的图像与a1的图像关于轴对称。

a1N1logN0

3、定理：当，时，成立a。

[证明]：用反证法，如果xlogN0，由指数函数的性质，就可得x，与N1矛盾。此定理又称为对数

aNa1

的基本不等式。

4、对数函数的图像与性质：

ylogxa10a1

a

图像

yy

（1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交

图像特征（2）过定点(1,0)

（3）自左至右图像上升（3）自左至右图像下降

（1）定义域为(0,)，值域为R

函数性质（2）当x1时，y0

（3）在(0,)上严格递增（3）在(0,)上严格递减

x1a1x

在直线的右侧，当时，底数越大，图像越靠近轴；

0a1x

当时，底数越小，图像越靠近轴，即“底大图低”。

2

模块03：对数方程与复杂对数不等式

1、对数方程：对数符号中含有未知数的方程叫做对数方程

2、对数方程的基本类型：