高三数学 第一轮复习 10：函数的概念及表示.doc

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高三数学第一轮复习10函数的概念及表示

·知识梳理·

模块01：函数的概念

设是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，使对集合中任意给定的，都有唯一的实数与之对应，就称这个对应关系为集合上的一个函数（function），记作。

其中叫做自变量（independentvariable），其取值范围（数集）称为该函数的定义域（domain）。当自变量取值时，由对应关系所确定的对应于的值，称为函数在处的函数值，记作。所有函数值组成的集合称为这个函数的值域。

[知识补充]

1、函数定义中要求对定义域中的任何一个，在值域中有且只有一个值和它对应；但并不要求对于值域中的每一个也只能有一个和它相对应，即函数的对应法则可以是1对1，也可以多对1，但不可以1对多（即定义域中一个对应域中一个以上的）。

2、定义域与值域都必须是非空数集。

3、定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法。

4、对应关系常用小写字母，如等表示。

模块02：函数的定义域求解和简单值域问题（具体值域方法后面会详细介绍）

1、一般定义域注意分式、根式、负指数幂、对数等自然定义域：

2、抽象函数定义域求解：

①定义域永远是自变量的取值范围，自变量一般都用表示；

②的作用区域保持不变，即后面那个大括号的范围保持不变．

3、已知函数定义域求参数（通常转化为恒成立问题，参数必要时注意分类讨论）。

模块03：函数解析式的确定、相同的函数及函数的运算

1、常见的方法：

①换元法（将对应关系内的整体转化为一个新的变量）；

②配凑法（根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式）；

③待定系数法（已知函数特征，求解析式可用待定系数法，设出待定系数，根据已知条件建立方程组求出待定系数的值）；

④赋值法-构造方程组法（指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予适当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法）...等等。

2、①复合函数注意换元、分层的意识思想；

②复合函数注意内层函数的值域与外层函数定义域的和谐性。

3、函数相同：如果两个函数的定义域和对应关系都完全一致，就称这两个函数是相同的。

[知识注释]

①若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？

不一定。如果函数和，其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，

②若两个函数的对应关系与值域相同，是否为相等函数？

不一定。如果函数和，其对应关系与值域完全相同，但不是相等函数，

综上：看两个函数是否相等，关键是看定义域和对应法则。

4、一般地，已知两个函数，设，并且不是空集，那么当时，与都有意义．于是把函数叫做函数与的和。类似于两个函数的和，已知两个函数，设，并且不是空集，那么当时，与都有意义．于是把函数叫做函数与的积。

·典例精讲·

模块01：函数的概念

例1-1下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系

A．人的年龄和身高 B．正方形的边长和面积

C．正边形的边数与顶点角度之和 D．角度与它的余弦值

【答案】：

【解析】：、人的年龄和身高是一种不确定的关系，即相关关系，故也不满足要求；、正方形的边长和面积是一种确定的关系，即函数关系，故满足要求；、正边形的边数与内角和为：正边形的内角和（正边形的边数，它是函数关系；、角度和它的余弦值是函数关系，因为任意一个角总对应唯一的一个余弦值；故选：。

例1-2

（1）下面的图像中可作为函数的图像的是

A．B．C．D．

【答案】：

【解析】：由函数的定义可知，对应定义域内的任意一个，都存在唯一的与对应，选项，，中都存心一个对应两个的情况，不满足取值的唯一性，故选：。

（2）给定的下列四个式子中，①；②；③；④．其中，能表示是的函数的是

A．①② B．①③ C．②③ D．①④

【答案】：

例1-3已知函数，则该函数与直线的交点个数有

A．1个 B．2个 C．无数个 D．至多一个

【答案】：

【解析】：根据函数的定义可知，设函数的定义域为，若，则该函数与直线的交点个数为1个，若，该函数与直线的交点个数为0个，综上：该函数与直线的交点个数至多一个．故选：。

例1-4下列四个图像中，不可能是函数图像的是

A．B．C．D．

【答案】：

【解析】：对于图，当时，有两个值对应，不可能是函数的图像；对于，，图，每个都有唯一的值对应．因此，均可以表示函数，故选：。

3、下列式子能表示关于的函数的是

A． B． C． D．

【答案】：

【解析】：由函数的定义可知：对于在定义域内每取一个确定的实数值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数．可知：只有，满足条件：．故选：。

模块02：函数的定义域求解和简单值域问题（具体值域方法后面会详细介绍）

例2-1求下列函数