2025版新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第三章3.33.3.1

A组·基础自测

一、选择题

1．抛物线x＝4y2的焦点坐标是(D)

A．(0,1) B．(0，－1)

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))

[解析]抛物线的方程为x＝4y2，

化为标准方程为y2＝eq\f(1,4)x，

所以焦点在x轴正半轴上，且p＝eq\f(1,8)，

故其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0)).故选D.

2．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)

A．双曲线 B．椭圆

C．圆 D．抛物线

[解析]连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D.

3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(A)

A．2 B．3

C．eq\f(11,5) D．eq\f(37,16)

[解析]易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，

如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝eq\f(|4＋6|,\r(42＋?－3?2))＝2.

4．若抛物线x2＝ay的准线与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相切，则a＝(A)

A．－4或4 B．4

C．－8或8 D．8

[解析]因为抛物线方程为x2＝ay，当a0时，抛物线的准线方程为y＝－eq\f(a,4)；当a0时，抛物线的准线方程为y＝－eq\f(a,4).由题知椭圆的上、下顶点分别为(0,1)，(0，－1)．若抛物线x2＝ay的准线与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相切，则－eq\f(a,4)＝1或－eq\f(a,4)＝－1，解得a＝±4，故选A.

5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向2eq\r(3)km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)(C)

A．(2＋eq\r(3))a B．2(eq\r(3)＋1)a

C．5a D．6a

[解析]依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2eq\r(3)km处，

∴B到点A的水平距离为3(km)，

∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C.

二、填空题

6．(2023·全国乙卷)已知点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(5)))在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则A到C的准线的距离为eq\f(9,4).

[解析]由题意可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)))2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，

准线方程为x＝－eq\f(5,4)，点A到C的准线的距离为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(9,4).

7．已知A为抛物线C：y2＝2px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝_6__.

[解析]方法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以yeq\o\al(2,A)＝18p.

又点A到焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离为12，

所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,A))＝12，

所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))2＋18p＝122，

即p2＋36p－252＝0，

解得p＝－42(舍去)或p＝6.

方法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－eq\f(p,2)的距离为12，

因为点A到y轴的距离为9，

所以eq\f(p,2)＝12－9，解得p＝6.

8．已知抛物线C：4x＋ay