高中数学：第1讲几何体外接球与内切球问题原卷版.doc

周南中学高三培优讲义

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第1讲几何体内切球与外接球问题探究

复习引入

1.球的表面积与体积公式：

2.几何体的外接球与内切球

（1）若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球；

（2）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

一、内切球问题

【例1-1】一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥，球内切于该四棱锥，则球的表面积为__________.

【例1-2】(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．

二、墙角模型

【例2-1】已知在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为________.

【例2-2】已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的∠BDC＝eq\f(π,2)，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()

A.3π B.4π C.5π D.6π

【例2-3】（2019·全国Ⅰ）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（）

A. B. C.D.

三、对棱相等模型

【例3-1】在四面体A-BCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，则四面体A-BCD的外接球的表面积为()

A．2πB．4πC．6πD．8π

四、有公共直角边模型

【例4-1】在四面体ABCD中，AB＝eq\r(2)，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为()

A．πB．2πC．3πD．4π

五、单圆模型

【例5-1】正三棱锥的顶点都在球O的球面上，若该棱锥底面边长为2，高为3，该球的半径为________.

【例5-2】在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球表面积为________.

【例5-3】在三棱柱中，平面，与底面所成角的正切值为，三棱柱的各顶点均在半径为2的球的球面上，且，，则三棱柱的体积为________.

六、双圆模型

【例6-1】如图所示，在三棱锥S－ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A－BC－S的大小为eq\f(2π,3)，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为()

A.eq\f(7π,3)B.eq\f(13π,3)C.eq\f(4π,3)D．3π

【例10】三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()

A.23π B.eq\f(23,4)π C.64π D.eq\f(64,3)π

七、切瓜模型

【例7-1】如图，已知平面四边形ABCD满足AB＝AD＝2，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________.

课后巩固

1（2012·全国Ⅰ）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）

A． B． C． D．

2.（2015·全国Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90o，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A．36π B．64π C．144π D．256π

3.（2011·全国Ⅰ）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为________

4.已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为

A． B． C． D．

5.(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的