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湖南省郭文静高中数学名师工作室课程资源
教学设计
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高一
学期
秋季
课题
正弦、余弦函数的图象
教科书
书名:普通高中教科书数学必修第一册A版教材
出版社:人民教育出版社出版日期:2019年6月
教学目标
知识与技能:
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
过程与方法:几何法作出正弦曲线,利用正弦曲线通过图象变换
情感、态度与价值观:掌握数形结合思想
教学内容
教学重点:作正弦函数图象和余弦函数图象,“五点法”作图.
教学难点:正弦函数与余弦函数图象的应用.
教学过程
教学过程:
探究一几何法作正弦函数图象
这种作图方法称为“几何法”,其基本步骤如下:
S1:从画函数y=sinx,x?∈[0,2π]的图象开始.在[0,2π]上任取一个值x0,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值sinx0并画出点T(x
在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标y0=sinx0.由此,以x0为横坐标,y0
S2:若把x轴上从0到2π这一段分成12等份,使x0的值分别为0,π6,π3,π2,…2π,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,你能否按上述画点T(
【提示】作出12个点,如图所示,
S3:如何作出函数y=sinx,x?∈[0,2π]的图象?
【提示】利用信息技术,可使x0在区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(x0,sinx0),将这些点用光滑的曲线连接起来,可得到比较精确的函数y=sinx,x?∈
【设计意图】通过探究,作出正弦函数的图象,深化对正弦函数的定义的理解,提高学生概括推理的能力。
S4:根据函数y=sinx,x?∈[0,2π]的图象,你能作出函数y=sinx,x?∈R的图象吗?
【提示】由诱导公式一可知,函数y=sinx,x?∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与y=sinx,x?∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将函数y=sinx,x?∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x?∈R的图象。
正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecurve),是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
思考:在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点?
【提示】观察图,在函数y=sinx,x?∈[0,2π]的图象上,以下五个点:0,0
探究二:余弦函数的图象
思考:你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系,通过怎样的图形变换,才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象?
【提示】对于函数y=cosx,由诱导公式cosx=sin?(x+π2)
而函数y=sinx+π2,x?∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x?∈
思考:类似于用“五点法”画正弦函数图象,找出余弦函数在区间[0,2π]上相应的五个关键点
【提示】画余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是
(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,
典例解析:
1.“五点法”作正弦、余弦函数的图象
例1.用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].
【解析】
x
0
eq\f(π,2)
π
eq\f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
(1)列表:
描点连线:
思考:你能利用函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,通过图象变换得到y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象吗?
提示:将y=sinx,x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位,得到y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象
(2)列表:
x
0
eq\f(π,2)
π
eq\f(3,2)π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
描点连线,如图
思考:同样地,利用函数y=cosx,x∈[0,2π]图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y=-cosx,x∈[0,2π]的图象?
提示:将函数y=cosx,x∈[0,2π]图象关于x轴对称得到y=-cosx,x∈[0,2π]的图象。
拓展:用“五点法”画y=sin3x的函数图象,如何描出五个点的坐标。
正余弦函数的图象的应用
例2利用
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