高中数学：02建立函数模型解决实际问题摸索阶段教学设计.docx

湖南省郭文静高中数学名师工作室

教学设计

课程基本信息

学科姓名

数学曹灿

年级

高一

学期

秋季

课题

建立函数模型解决实际问题-摸索阶段(数学建模知识讲授)

教科书

书名：普通高中教科书数学必修第一册A版教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月

教学目标

通过数学建模第一课时的学习，使学生获得了从生活中发现数学问题，应用数学方法解决实际问题的能力；提高了数学应用能力和数据处理能力；发展了应用数学解决实际问题的数学思想。

教学内容

教学重点：

1.将实际问题转化为数学问题，并建立函数模型；

2.掌握数据收集的基本方法；

3.根据实际问题选择合适的数学模型，并对其进行检验。

教学难点：

1.实际数据的收集与处理；

2.合适数学函数模型的选择与比较。

教学过程

数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。今天我们一起来学习数学建模-建立函数模型解决实际问题。

首先，我们来回顾下数学建模的基本步骤如下：首先，观察实际情景，发现和提出问题。其次，是收集数据和分析数据。再次，建立模型和检验模型。最后是求解问题。从以上分析可以得出：

数学建模的过程就是在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果，改进模型，最终解决实际问题。其过程如下：

表述

表述

验证

求解

现实世界

数学模型

现实问题的信息

数学模型的解答

现实问题的解答

解释

数学世界

实践

理论

实践

图1数学建模过程示意图

接下来，我们一起研究茶水温度随时间变化规律。

本课时应用问题式学习法进行教学。

实验所需要仪器分别是：温度计，秒表或者温度传感器，数据采集软件（此处根据不同学校进行仪器准备）。

其教学过程分以下几部分：

一、提出问题，揭示本质

“名山名水出名茶”。南岳衡山特产云雾茶，久负盛名。该茶造型优美，香味浓郁甘醇，久享盛名，早在唐代，已被列为贡品。请问如何才能泡出一杯清香可口的云雾茶呢?需要从采摘开始保证各环节保持一定的温度。你们知道吗，像云雾茶、龙井等优质绿茶一般用怎样温度的水冲泡是最好的?通过查找文献得到不同饮品的最佳饮用温度如表1所示。

表1三种饮品的最佳冲泡温度和最佳口感温度

饮品名称

最佳冲泡温度/。C

最佳口感温度/。C

绿茶

85

60

咖啡

90

55

奶粉

70

40

二、收集数据

实验所需仪器：茶、热水、温度计、秒表、茶杯、温度传感器和数据采集软件等。由以上仪器收集茶水随时间变化相关数据，列成表格。注意选择合适的时间间隔，一般选一分钟或30秒作为时间间隔。

利用秒表和温度计等工具，收集茶水温度随时间的变化的数据。某研究人员每隔一分钟测量一次茶水温度，如表2所示。

表2茶水温度随时间变化的关系

时间/min

0

1

2

3

4

5

温度/。C

85.00

79.19

74.75

71.19

68.19

65.10

三、分析数据

根据采集的数据，不能套用已有的函数直接建模。先画出散点图，利用图像直观分析这组数据的变化规律，选择合适的函数类型。这是本课时教学的难点之一。

该数据的一个重要特点是当水温降至室温时，水的温度不再变化。设茶水温度从85开始，经过后的温度为。根据表2，画出散点图（图2）。

图2水温随时间变化折线图

四、建立模型

观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温后就不能再降的事实，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律。其中此处的25是测量时的室温，将随测量环境变化而变化。

接下来，确定模型中参数和的值。

根据实际测量数据，初始值是时，，可得。

根据实际意义，模型中的称之为衰减比例。从第起计算每分钟的温度与上一分钟的温度的比值，列出表3。

表3衰减系数随时间的变化情况表

0

1

2

3

4

5

60

54.19

49.75

46.19

43.29

40.10

比值

0.9032

0.9181

0.9284

0.9351

0.9285

计算各比值的平均值,得到衰减比例。因此本问题得到的函数模型为：

①

五、检验模型

将已经数据代入①式，并画出函数①式的图像。观察各点与函数①的吻合情况。

图3函数图像拟合图

六、求解问题

将代入①式，得。

故泡制一杯最佳口感某种茶水所需时间大约是。

六、课堂小结

让学生总结数学建模的基本步骤和选择函数模型的基本原则。

数学学科素养

1.直观想象：根据所给数据想象合适的函数模型；

2.数据分析：根据实验得到数据进行数据分析；

3.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结建立函数模型的基本步骤。

备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容