八年级数学下册19.2.4选择方案六大题型（解析版）.docxVIP

19.2.4选择方案-6大题型

选择方案

选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，常建立函数模型，运用方程（组）或不等式的知识进行求解.

用一次函数选择方案的一般步骤

（1）析∶分析题意，弄清数量关系.（2）列∶列出函数解析式、不等式或方程.

（3）求∶求出自变量在不同值对应的函数值的大小，或函数的最大（最小）值.

（4）选∶结合实际需要选择最佳方案.

注意∶在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解（如正整数解）.

特别提醒：１．解决含多个变时，注意分析这些变量的关系，从中选取—个根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学

２．选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，它往往是将全部方案——列举出来，然后根据题意选择一个最优的方案。

题型1：省钱方案

1.朗朗晴空、徐徐清风，民生之要、百姓之盼，某市深入贯彻生态文明思想，着力推动生态环境质量持续好转，努力绘就美丽中国画卷．市政府为了改善市内河流水质，市环保部门欲购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表，设购买A型号设备x台，购买这两种型号的设备共10台所需资金为y万元．

A型

B型

价格（万元/台）

12

10

每台设备处理污水量（吨/月）

220

200

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若政府规定每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为环保部门设计一种最省钱的购买方案．

【分析】（1）根据A型号总费用+B型号总费用等于总费用求解即可；

（2）根据政府规定每月要求处理污水量不低于2040吨，可得一元一次不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可确定最省钱的购买方案．

【解答】解：（1）根据题意，得y＝12x+10（10﹣x）＝2x+100，

∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+100；

（2）根据题意，得220x+200（10﹣x）≥2040，

解得x≥2，

∵y＝2x+100，2＞0，

∴y随着x增大而增大，

当x＝2时，y取得最小值，

此时购买A型号设备2台，B型号设备8台，

答：购买A型号设备2台，B型号设备8台时最省钱．

【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．

【变式1-1】为持续做好疫情防控工作，我校计划购买甲、乙两种额温枪．经市场调研得知：购买1个甲种额温枪和2个乙种额温枪共需700元，购买2个甲种额温枪和3个乙种额温枪共需1160元．

（1）求每个甲种额温枪和乙种额温枪各多少元；

（2）我校准备购买甲、乙两种型号的额温枪共50个，其中购买甲种额温枪不超过乙种额温枪．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．

【分析】（1）设每个甲种额温枪x元，每个乙种额温枪y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设购买m个甲种额温枪，则购买（50﹣m）个乙种额温枪，总费用为w元，根据题意写出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质可得答案．

【解答】解：（1）设每个甲种额温枪x元，每个乙种额温枪y元，根据题意得：

，

解得：．

答：每个甲种额温枪220元，每个乙种额温枪240元；

（2）设购买m个甲种额温枪，则购买（50﹣m）个乙种额温枪，总费用为w元，

根据题意得：w＝220m+240（50﹣m）＝﹣20m+12000．

∵m≤50﹣m，

∴m≤25，即0≤m≤25且m为整数．

∵﹣20＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝25时，w取最小值，w最小值＝﹣20×25+12000＝11500（元）．

答：买25个甲种额温枪，25个乙种额温枪总费用最少，最少为11500元．

【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．

【变式1-2】烟台苹果驰名中外，某水果超市计划购进“红富士”与“新红星”两个品种的苹果．已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元．

（1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？

（2）若超市准备购买红富士和新红星两种苹果共50箱，且红富士的数量不少于一半，请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．

【分析】（1）设每箱红富士苹果的进价为x元，每箱新红星苹果的进价为y元，列二元一次方程组解答；

（2）设购买红富士m箱，则购买新红星（50﹣m）箱，所需费用为W元，列出函数关系式，根据一次函数的性质解答．

【解答】解：（1）设每箱红富士苹果的进价为x元，每箱新红星苹果的进价为y元，

由题意可