八年级数学上册专题11.2 与三角形有关的角（教师版）.pdfVIP

专题11.2与三角形有关的角

1、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.

2、会运用三角形内角和定理进行计算.

3、理解并掌握三角形的外角的概念．

4、会利用三角形的外角性质、直角三角形的性质解决问题.

知识点01三角形的内角和定理

1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于

0°且小于180°．

2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组

合成一个平角．在转化中借助平行线．

【微点拨】

三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形

中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

【知识拓展1】运用三角形的内角和定理解决角度问题

例1．（2022·河南濮阳·八年级期末）有一块直角三角板DEF放置在ABC上，三角板DEF的两条直角边

DE，DF恰好分别经过点B、C，在ABC中，DBADCA40，则A的度数是（）

A．40B．44C．45D．50

【答案】D

【分析】首先在△DBC中，根据三角形内角和定理可得到∠DBC与∠DCB的和，再在△ABC中利用三角

形内角和定理计算A的度数即可．

【详解】在△DBC中，∵D90，∴∠D∠BCDCB1809090，

∵DBADCA40，∴在△ABC中，

A180(ABCACB)180(∠A∠B∠D∠ACDDBCDCB)180(9040)50

【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°，熟记三角形内角和是解题的关键．

【即学即练】

1．（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．

（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；

（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．

【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解；

（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO∠ABC，∠BCO

∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数；

（3）仿照（2）的过程进行求解即可．

【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，

∴∠CBO∠ABC＝20°，∠BCO∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；

（2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，

∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；

（3）由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∵∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，

∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝90°∠A，

∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°∠A，即∠BOC＝90°∠A．

【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．

【知识拓展2】三角形的内角和定理的证明

例2．（2022·浙江杭州·八年级期末）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”

时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DE∥BC”．