华师一附中2024届高三《导数的应用——证明不等式》 答案.pdfVIP

一轮复习补充作业5参考答案：导数的应用——证明不等式

一、证明一元函数不等式：构造函数求最值、放缩法、拆分法

2−lnx12x+121

1.证明：要证+x−1，即证2−lnx+x+x−x+1即证lnx−x+0，

x+1xxx

21111

令H(x)lnx=−x+，则有H(x)=−2x−22(x=−1)−2x，x(0,1)，x−10，−2x0，

xxxx

H(x)

H(x)0在(0,1)上恒成立，即得函数在(0,1)上单调递减，H(x)H(1)0

lnxexlnx1−lnx

2x

2.证明：要证，即证．令函数gx1=+，则gx．

x+xlnxe1+2()()2

xxxx

gx0x0,egx0xe,+gx0,ee,+

令()，得()；令()，得()．所以()在()上单调递增，在()上单调

1exex(x−2)

递减，所以gxge1+，令函数，则．

()()hxhx

max()2()3

exx

x0,2hx0x2,+hx0

当()时，()；当()时，()．

ex1

3.证明：要证：ex−xlnx−(e−1)x−10，即证：−lnx−