人教A版高三数学一轮复习数列求和学案.docxVIP

第 4 讲 数列求和 题型 1 数列中 a 与 S 的关系 n n (对应 生用书第 11 页) 核心知识储备 …· 数列{a }中，a 与 S 的关系： n n n ?S1 ?n＝1?， ?a ＝? ? n S n － Sn－1 S ?n≥2?. 求数列{a }通项的方法： n 叠加法 形如 a n － an－1 a ＝f(n)(n≥2)的数列应用叠加法求通项公式，a n ＝a1 n ＋∑ f(k)(和 k＝2 可求)． 叠乘法 a  aa a a a a形如 n ＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式，a a ＝a · 2· 3·…· n ( 积 n－1 可求)． 待定系数法 n 1 a1 a2 n－1 1形如 a ＝λa ＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的数列应用待定系数法求通项公式， 1 n n－ μ ?a ＋ μ ?? ??a ＋ μ ?? ? a ＋ ＝λ? n 1 ??构造新数列? n ?为等比数列?． n λ－1 ? － λ－1?? ?? λ－1?? ? 典题试解寻法 …· 【典题 1】 (考查已知 an 与 Sn 的递推关系求 Sn)已知数列{an}满足 an＋1＝3an＋2. 若首项 a1＝2，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝ . [解析] 因为 an＋1＝3an＋2，所以 an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以 a1＋ n n1＝3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 a ＋1＝3n，所以 a ＝3n－ n n n 1 2 nS ＝a ＋a ＋…＋a ＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31＋32＋…＋3n n 1 2 n 3?1－3n? 3n＋1－3 n＝ 1－3 －n＝ 2 －n， 3n＋1－3 3n＋1－2n－3 n所以 S ＝ 2 －n＝ 2 . n 3n＋1－2n－3 [答案] 2 n n n n 1 n n【典题 2】 (考查已知 a 与 S 的递推关系求 a )数列{a }中，a ＝1，S 为数列{ n n n n 1 n n 2a 的前 n 项和，且满足 n ＝1(n≥2)．求数列{a }的通项公式． －a S S2 n － n n n 2a －[解] 由已知，当 n≥2 时， n ＝1， － n n 1所以 2?S －S － n n 1 a S S2 n n n ＝ ， －1 － ?－?－1S S S S ? － ? －1 n n n n 2?S －S － ? 1 1 1 即 n n 1 ＝1，所以 － ＝ . －SnnS －1S － S n n S 2 n n－1 1 1又 S ＝a ＝1 1 1 所以数列? 1 ?是首项为 1，公差为1的等差数列， n所以1 ＝ n ?S ? ? n? 1 2 n＋1 S 1＋2(n－1)＝ 2 ， 即 S ＝ 2 . n n＋1 所以当 n≥2 时，a ＝S －S ＝ 2 －2＝－ 2 . n n n－1 n＋1 n n?n＋1? 因此 a ??1，n＝1， n＝? 2 n ??－n?n＋1?，n≥2. [类题通法] n n n n n 1 n给出 S 与 a 的递推关系，求 a ，常用思路：一是利用 S －S － ＝a ?n≥ n n n n n 1 n n nn n转化为 a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S 的递推关系，先求出 S 与 n 之间的关系，再求 a n n n n n n n 1提醒：在利用 a ＝S －S ?n≥2?求通项公式时，务必验证 n＝1 n n n 1 － 对点即时训练 …· 已知数列{a }满足 a ＝ 1 1 ＝( ) n n＋1 1－a ，若 a 1 ＝ ，则 a 2 2 018 A．－1 C．1 n 2B．1 D．2 2 D [由 a ＝1，a ＝ 1 ，得 a ＝ 1 ＝2，a ＝ 1 ＝－1，a ＝ 1 n1231 2 n＋1 n 1 2 3 1－a 2 1－a 3 1－a 4 1－a ＝1，a ＝ 1 ＝2，…， 42 5 1－a 4 于是归纳可得 a ＝1，a ＝2，a ＝－1，因此 a ＝a ＝2.故 选 D.] 3n－2 2 3n－1 3n 2 018 3×672＋2 n n n n n已知数列{a }前 n 项和为 S ，若 S ＝2a －2n ，则 S ＝ n n n n n n n 1 1 nn·2n(n∈N*) [由 S ＝2a －2n 得当 n＝1 时，S ＝a ＝2；当 n≥2 时，S n n 1 1 n S S －1 ?S ? 2(S －S )－2n，即 n－ n ＝1，所以数列? n?是首项为