全等三角形习题(难题 )4.docxVIP

- - PAGE 2 - 全等三角形中的动态几何问题 动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考． 例 1．（扬州）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C，且 AD⊥MN 于 D， BE⊥MN 于 E． 当直线MN 绕点C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； 当直线MN 绕点C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD－BE； 当直线 MN 绕点C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系 ？请写出这个等量关系，并加以证明． MCDAB M C D A B E M C E N D 图 3 C E N A B A B 图 2 N 图 1 证明：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE ，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB； ② ∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE ，∴DE=CE+CD=AD+BE， ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC ， ∴△ACD≌△CBE ，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE－CD=AD－BE． 当 MN 旋转到图 3 的位置时，AD、DE、BE 所满足的等量关系是DE=BE－AD（或 AD=BE －DE，BE=AD+DE 等）． ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－AD． 评注：本题以直线 MN 绕点 C 旋转过程中与△ABC 的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）小题的两个小题中，①是②的台阶，只要证明了①，不难得到②；第（1）小题思路又作为解决第（2）小题的借鉴；第（3）小题为探索性问题，探索的结论及证明过程可借鉴第（1）、（2）两小题，整个试题考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力． 例 2 （锦州）如图A，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接AF 和 BE． 线段AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； 将图A 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗? 作出判断并说明理由； 若将图A 中的△ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； 根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现． 答：（1）AF=BE．在△AFC 和△BEC 中，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60° ∴△AFC≌△BEC． ∴AF=BE． 成立． 理由：在△AFC 和△BEC 中，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°．∴∠ACB－∠FCB=∠FCE－∠FCB． 即∠ACF=∠BCE．∴△AFC≌△BEC．∴AF=BE． 此小题图形不惟一，如 第（1）中的结论仍成立． 根据以上证明、说理、画图，归纳如下： 如图 A，大小不等的等边三角形ABC 和等边三角形CEF 有且仅有一个公共顶点C，则以点 C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE． 评注：本题以大小不等的等边三角形△ABC 和△CEF 绕点C 旋转过程中出现的不同的位置而设置的四个小题，第（1）小题是解决整道试题的基础，解题时，同学可采用观察、动手测量、猜测等手段得到线段AF 和 BE 间的数量关系，然后通过三角形全等，说明其成立的理由，第（2）（3）（4）小题在第（1）小题基础上，进一步探索结论和规律，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思 想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力．