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九年级数学竞赛辅导材料（上） 45、一元二次方程的根 46、完全平方数和完全平方式 47、配方法 48、非负数 49、对称式 50、基本对称式 51、待定系数法 52、换元法 53、条件等式的证明 54、整数解 55、未知数比方程个数多的方程组解法 56、列表法 57、逆推法 58、观察法 59、“或者”与“并且” 60、解三角形 初中数学竞赛辅导资料（45） 一元二次方程的根 一、内容提要 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数 a, b, c 的值确定的. 根公式是： －b ? －b ? b 2 ? 4ac . (b2－4ac≥0) 根的判别式 ① 实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是： b2－4ac≥0. ② 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是： b2－4ac 是完全平方式? 方程有有理数根. ③整系数方程x2+px+q=0 有两个整数根? p2－4q 是整数的平方数. 设 x1, x2 是 ax2+bx+c=0 的两个实数根，那么 1 1 2 2① ax 2+bx +c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)， ax 2+bx +c=0 (a≠0， b2－4ac≥0) 1 1 2 2 －b＋ b 2 ? 4 －b＋ b 2 ? 4ac ， x2= 2a －b －b－ b 2 ? 4ac (a≠0, b2－4ac≥0)； ③ 韦达定理：x1+x2= － a , x1x2= a 方程整数根的其他条件 (a≠0, b2－4ac≥0). 整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1 的必要条件是：x1 是 c 的因数. 特殊的例子有： 1 1 1C=0 ? x =0 ， a+b+c=0 ? x =1 ， a－b+c=0 ? x =－ 1 1 1 二、例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990 年泉州 市初二数学双基赛题） 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△ ≤0 和△ ≤0. 1 2 ?1－4b ? 0 ① ? 即?a 2 ? 4c ? 0 ② ??a ? b ? c ? 1 ③ ? 1 5 由①得b ≥ 4 ，b+1 ≥ 4 代入③，得 5 a－c=b+1≥ 4 ， 4c≤4a－5 ④ ②＋④：a2－4a+5≤0， 即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的. 1 2既然△ ≤0 和△ ≤0 不能成立的，那么必有一个是大于 1 2 ∴方程x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△ ＋△ ＞0 时，则△ 和△ 中至少有一个是正数. 1 2 1 2 例2. 已知首项系数不相等的两个方程： （a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0 和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中 a,b 为正整数) 有一个公共根. 求 a, b 的值. 解：用因式分解法求得： 方程①的两个根是 a 和 （1989 年全国初中数学联赛题） a ? 2 b ? 2 ? ?； 方程②两根是 b 和 . ? ? 1 b 1 由已知 a1, b1 且 a≠b. b ? 2 a ? 2 ∴公共根是 a= 或 b= . ? ?1 a 1 ? ? 两个等式去分母后的结果是一样的. 即 ab－a=b+2, ab－a－b+1=3, (a－1)(b－1)=3. ?a－1＝1 ? ?∵a,b ? ? ?b 1 3 ?a－1＝3 ? ?； 或? ? ? ?b 1 1 ?a＝2 ?a ? 4 解得? ； 或? . ?b ? 4 ?b ? 2 又解： 设公共根为 x0 那么 ??(a ? 1)x 2 ? 0 ? (a 2 ? 2)x ? (a 2 ? 2a) ? 0 ①  先消去二次项： ?（? b ? 1)x 2 ? 0 ? (b 2 ? 2)x ? (b 2 ? 2b) ? 0 ② ①×（b－1）－②×（a－1） 得 0［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0. 整理得 （a－b）(ab－a－b－2)(x －1)=0. 0 ∵a≠b 0∴x ＝1； 或 (ab－a－b－2)＝0. 0 0当 x ＝1 时，由方程①得 a=1, 0 ∴a－1=0， ∴方程①不是二次方程. ∴x0 不是公共根. 当(ab－a－b－2)＝0 时， 得(a－1)(b－1)=3 ……解法同上. 例 3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程 x2+mx+n