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医学高等数学;§1、 函数;第一节：函 数;一、函数的概念;常量:在某一变化过程中始终保持同一个 数值不变的量称为常量 ，一般用 a，b， c 表示 。;2.函数的定义;3.定义域、值域;4.函数的两个要素;6.区 间;7.邻 域;分段函数：当自变量的取值范围不同时，其表达 式也不同，这样的函数称为分段函数.如:; (1) 符号函数;(2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数;;(4) 取最值函数;1. 复合函数;例： 设 ;例： 设 ;复合函数有什么特性？?;2. 反函数;二、函数的四种简单特性;1.函数的有界性;命题 : 函数 y= f(x)为有界函数的充要条件是 存在两个实数 N 和 M , 使得对任意的 x? D , 恒有 N ? f(x) ? M;有界和无界是对立的,非此即彼的；;2.函数的单调性;若函数y=f(x)的定义域是D，如果在D中的某个子区 间I中任意取两个值x1和x2,当x1 x2时,有 f(x1)f (x2),则称该函数在区间I上是单调递减.单 调递减函数的图形是沿x轴的正向下降的.如下图所 示;例：;3.函数的奇偶性;偶函数 :对于函数y=f(x)定义域D中的任意一点x(- x∈D),恒有f(-x) = f(x),则称函数f(x)为D上的 偶函数.;判别函数奇、偶性;结论：;4.函数的周期性;例子;并非所有的周期函数都有最小正周期！;三、初等函数;a.幂函数;b.指数函数;c.对数函数;d.三角函数;余弦函数;正切函数;余切函数;e.反三角函数;反三角函数;1、数列的极限;２、函数的极限;当 x? x0时;当 x? x0+和x? x0－时;例子;当 x? ?时;当 x? +? 或 x? -?时;３、函数f(x)极限存在的充要条件;例题;4. 极限存在的判断准则;**单调有界法则;;二、无穷小与无穷大;1.无穷小与无穷大的定义;注意！;2.无穷小量定理;3.无穷小的性质;;4.无穷小与无穷大的关系;5、无穷小量的比较;命题：;定理1-2 极限的四则运算法则;极限的计算(1);极限的计算(2);从以上例子可以得出如下求分式极限的方法：;极限的计算(3);例28：已知;四、两类重要极限;;思考题:;例题;1.函数连续性的定义;由函数在某点连续的定义可知;解：;左连续与右连续;连续函数;例题;函数的间断点;间断点的分类;可去 间断点;这种间断点称为振荡间断点，属于第？类间断点;二、初等函数的连续性;例如,;???开区间上的连续函数???定有最大（小）值吗？一定有界吗？为什么？试举例说明.;几何解释:;2.1 导数的概念;2.1.1 引例;;;两个问题的共性:;2.1.2 导数的定义;若上述极限不存在 ,;(2-1);设函数f (x)在 [x0, x0+? ) 内有定义，若;设函数 f (x) 在 (x0–? , x0] 内有定义，若;定理. 函数; 导函数; 若f (x)在(a, b)内可导， 且 存在， 则称f (x)在 [a, b]上可导，f ?(x)称为f (x)在[a, b]上 的导函数。;由定义求导数（三步法）;例1：求函数y=x2的导函数y，并计算x=2处的导数值。;例2：血药浓度减少的问题：药物一次静脉注射后，时刻t的血药浓度有以下规律：;解：;2.1.3 导数的几何意义;曲线y=f (x)在点 x0 处的切线可能垂直于x轴、平行于 x 轴、或不存在，这些反映出的导数值是：;;;2.1.4 函数的可导性与连续性的关系;例5;例6.已知 y=;由可导性：;内容小结;补充练习;例2