27 特殊三角形考点巩固（含答案析）（中考高分导航备战中考数学考点总复习（全国通用））.docxVIP

专题27 特殊三角形 考点1：等腰三角形的性质与判定 1．（2021·江苏苏州市）如图．在中，，．若，则______． 【答案】54° 【分析】 首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可． 【详解】 ∵ AF=EF， ∴ ∠A=∠AEF， ∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°， ∴ ∠A=36°， ∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°， ∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°． 故答案为：54°． 2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】 由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论． 【详解】 解：在△ABD中，AB=BD ∴∠A=∠ADB= 在△BCD中，BC=BD ∴∠C=∠BDC= ∵ ∴ = = = = 故答案为：． 3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为______． 【答案】135° 【分析】 利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题． 【详解】 解：连接OC，EO 由折叠性质可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD ∴∠ECO= ∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135° 即的度数为135° 故答案为：135° 4．（2021·山东中考真题）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】 （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后由（1）可求解． 【详解】 （1）证明：∵BD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得． 5．（2020?台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）判断△BOC的形状，并说明理由． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE； （2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△BOC是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴BO＝CO， ∴△BOC是等腰三角形． 考点2：等边三角形的性质与判定 6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 【答案】3 【分析】 连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可． 【详解】 解：连接QC和PC， ∵PQ和圆C相切， ∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值， ∴当CP最小时，PQ最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB， ∵AB=BC=AC=4， ∴AP=BP=2， ∴CP==， ∵圆C的半径CQ=， ∴PQ==3， 故答案为：3． 7．（2020?台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　 　． 【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解． 【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点， ∴EF＝2， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴△DEF是等边三角形， ∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6． 故答案为：6． 8．（2020?凉山州）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发． （1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP； （2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【分析】