27 二次函数中的等角（含答案析）（九年级数学下册常考点微提分练习（苏科版））.docxVIP

专题27 二次函数中的等角 1．已知二次函数y＝ax2﹣2x＋3经过点A(﹣3，0)，P是抛物线上的一个动点． （1）求该函数的表达式； （2）连接BC，在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA＝∠OCB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）二次函数过点A(-3，0)，代入有0=9a+6+3，a=-1， 故为此函数解析式为； （2）抛物线上存在点P，使得∠PCA＝∠OCB， 过P点作PDAC，交AC于点D，如图 已知抛物线方程为，，x=1，即可得到B(1，0)， 则有OB=1，OC=3，， 点P在抛物线上，设点P(a，)，直线AC：y=x+3，则，直线PD过点P，即可求出PD的解析式为，又因为D为PD与AC的交点，联立方程组有，解得有，即D(， ， ， ∵∠PCA＝∠OCB， ∴， ∴，解得a=-4或a=， 所以存在点P(-4，-5)或． 2．若二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，－2），且过点C（2，－2）. （1）求二次函数表达式； （2）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由． 解：（1）二次函数的图象经过点、，将、两点坐标代入， 则有 ， 解得： 二次函数表达式为 （2）在抛物线上下方）存在点，使． 如图2，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 过点作轴于点 垂直平分 ， 、， ，， ， 中，， ， ， 设直线解析式为 把点代入得：，解得： 直线 当，解得：（舍去）， 点横坐标为，即点到轴的距离为． 3．如图，已知点，，在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）设抛物线的解析式为， 将点C的坐标代入，得 解得： ∴该抛物线的解析式为； （2）存在， 作△ABC的外接圆圆心为M，与抛物线的对称轴交于点Q，连接BQ、CQ、MB和MC，设抛物线对称轴与x轴交于点D，如下图所示， ∴ ∵点，， ∴OA=OC，AB=3－（-1）=4 ∴△OAC为等腰直角三角形，BD==2 ∴∠BAC=45° ∴∠BQC=45° ∴∠BMC=2∠BQC=90° 设圆M的半径为r，由 则 解得：r=或（不符合实际，舍去） ∴MQ=MB= 在Rt△BDM中，DM=1 ∴DQ=DM＋MQ= ∴点Q的坐标为（1，）． 4．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）抛物线上存在点P，使， ①当点P是抛物线上与点C对称的点时，则有， ∵点C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3）， ∴， ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为， 设与平行的直线的解析式为， 将A（-1，0）代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得：， 解得：，（舍去）， ∴． 综上所述，P1（2，3），P2（4，-5）． ． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线（，，为常数，且）经过，两点，与轴正半轴交于点． （1）求一次函数及抛物线的函数表达式． （2）在对称轴上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】 （1）∵一次函数（为常数）的图象与轴交于， ∴， 解得：m=-2， ∴一次函数解析式为：y=， 当x=0时，y=-2， ∴点C坐标为（0，-2）， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与轴正半轴交于点， ∴点B坐标为（1，0）， ∵抛物线过点A、B、C， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，设对称轴与x轴交于点F，作△ACB的外接圆⊙M，交x轴下方对称轴于E1，作E1关于x轴的对称点E2， ∵∠ACB和∠AE1B是所对的圆周角， ∴∠ACB=∠AE1B， ∵直线x=-1是抛物线点对称轴， ∴直线x=-1垂直平分线段AB， ∴⊙M的圆心在直线x=-1上，且MB=MC， ∴点M的横坐标为-1， 设M（-1，m）， ∴， 解得：m=， ∴点M坐标为（-1，）， ∴MB==，即⊙M的半径为， ∴ME1=， ∴FE1=FM+ME1==， ∵点E1在x轴下方， ∴点E1坐标为（-1，）， ∵E1与E2关于x轴对称， ∴AB垂直平分E1E2， ∴四边形AE1BE2是菱形， ∴∠AE1B=∠AE2B， ∴∠AE2B=∠ACB， ∴点E2坐标为（-1，）， 综上所述：存在点E使，点坐标为，． 6．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A