27 一次函数与等腰三角形结合（含答案析）（八年级数学下册常考点微提分练习（人教版））.docxVIP

专题27 一次函数与等腰三角形结合 1．如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，且． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： (2)或或或 【解析】 【分析】 （1）把点代入可得，再由，可得点 ，即可求解； （2）分三种情况：当OP=OA=5时，当AP=OA时，当AP=OP时，即可求解． (1) 解：∵一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点， ∴，解得： ∴正比例函数的解析式为：， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴点 ， 把点， 代入，得： b=-53k2+ ∴一次函数的解析式为：； (2) 解：当OP=OA=5时，点的坐标为或； 当AP=OA时，过点A作 轴于点C， ∴OC=PC=3， ∴OP=6， ∴点； 当AP=OP时，过点P作PD⊥OA于点D，过点D作 轴于点E， ∴点D为AO的中点，即 ， ∵点， ∴点 ， ∴ ， 设点 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得： 或 （舍去） ∴点 ， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想和数形结合解答是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值与一次函数解析式； (2)在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，，， 【解析】 【分析】 （1）根据正比例函数过，可得，设一次函数解析式为（k≠0）．把，代入，即可求解； （2）先求出AB=5，然后分两种情况：或，即可求解． (1) 解：∵正比例函数过， ， ， ∴点， 设一次函数解析式为（k≠0）． 将，代入，得 ， ， ∴一次函数解析式为． (2) （2），， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若， 设，则， 解得：或-1， ，； ②若，则， ， 综上，，，． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的性质和图象，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图象，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键． 3．已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，且． （1）求A点坐标； （2）求的面积； （3）已知在x轴上存在一点P，能使是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 【答案】（1）A点坐标为；（2）；（3）P点的坐标是或或或 【解析】 【分析】 （1）联立方程组求解即可； （2）求出点B的坐标计算即可； （3）根据OA为腰和底边分类讨论，结合等腰三角形的性质计算即可； 【详解】 解：（1）由， 解得：， ∴A点坐标为； （2）∵与y轴相交于点B，则B点坐标为， ∴； （3）由题意可分： 当OA是腰，O是顶角的顶点时，，则P的坐标是或； 当OA是腰，A是顶角的顶点时，，则P与O关于对称，则P的坐标是； 当OA是底边时，OA的中点是，设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：； 根据题意得：， 直线的解析式是：， 当时，， ∴P点坐标为； 综上所述，P点的坐标是或或或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的应用，准确分析计算是解题的关键． 4．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）求OC的长度； （3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【解析】 【分析】 （1）求出当时的值可得点的坐标，求出当时的值可得点的坐标； （2）先根据点的坐标可得的长，再根据折叠的性质可得，设，从而可得的长，然后在中，利用勾股定理即可得； （3）设点的坐标为，根据等腰三角形的定义分①，②，③三种情况，再利用两点之间的距离公式建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：（1）对应一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， 故答案为：，； （2）， ， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长度为； （3）设点的坐标为， 则， ， ， 根据等腰三角形的定义，分以下三种情况： ①当时，是等腰三角形， 则，解得， 此时点的坐标为或（与点重合，不符题意，舍去）； ②当时，是等腰三角形， 则，解得或， 此时点的坐标为或； ③当时，是等腰三角形， 则，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或．