27 二次函数中的面积问题（含答案析）（决战中考数学之函数专项突破（知识对接+专项训练））.docxVIP

专题27 二次函数中的面积问题 知识对接 考点一、二次函数中的面积问题 解决此类问题时,一般根据图形的性质,找自变量与该图形面积之间的关系,从而确定二次函数的表达式,再根据题意和二次函数的性质解答即可. 专项训练 一、单选题 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】 由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得： ，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值． 【详解】 ∵p=5，c=4， ∴a+b=2p-c=6 ∴ 由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得： 设，当取得最大值时，S也取得最大值 ∵ ∴当a=3时，取得最大值4 ∴S的最大值为 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 2．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：如图， 根据旋转的性质，， ∴， 则 ， ∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴， 设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)， ∴OP2=， OQ2=， ， 设， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】 由y=ax2-2ax+2（a＜0）可得点B坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点D坐标，再通过CD=BC求出BC长度，通过三角形面积=×底×高求解． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为直线x=， 点B的坐标为（0，2）， ∴点D的坐标为（2，2）， BD=2-0=2， ∵CD=BC， ∴CD=BD=1， ∴BC=2+1=3． ∴S△ABC=×3×2=3． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查函数图象上点的坐标特征，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 4．如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据图形得到列出函数关系，再将函数关系化为顶点式，根据性质求出结果． 【详解】 解：设运动的时间为x秒（），四边形APQC的面积为y ， 则：，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴抛物线开口向上，y有最小值， ∴当时，，y有最小值，，最小值是12， ∴当四边形的面积最小时，经过的时间为2秒． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了根据点的运动问题列出函数关系式以及二次函数的性质，关键是根据图形明确四边形的面积等于大三角形的面积减去小三角形的面积，列出函数关系． 5．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（ ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】D 【分析】 根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题． 【详解】 解：由题意得， 与之间满足的函数关系是二次函数， 故选：D． 【点睛】 本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（ ） A．16 B．8 C．32 D．10 【答案】B 【分析】 过点作于，作于点，由勾股定理可求，由旋转的 性质可求，，由可证，可得，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解． 【详解】 解：如图，过点作于，作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵面积， ∴当时，面积的最大值为8， 故选：B． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等