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第三节 反函数与复合函 数 一、反函数 二、复合函数 三、函数的运算 四、小结 思考 题 一、反函数 (inverse function) 设 函数 是f :一D 一ﾮ映R射 ，则 它存在 逆 映射 f f - 1 f :R f ﾮ D f , 称此映射 f -1 为函数 f 的反函数 . 函数 f 也称为直接函数 . y y 函数 y  f (x ) 反 函数 x  f -1 (y ) y 0 y 0 W W o x0 x o x0 x D D -1 y 反函数y  f (x ) y  x Q(b, a) 直接函数y  f (x ) P (a,b) o x y  x 直接函数与反函数的图形关于直线 对称 . 2 并非所有的函数都有反函数 , 如 y =f (x)=x , 定义 域为 Df =(- ∞,+∞) , 值域为 Rf =[0,+∞) , 显然 f 不是一一映 射 , 所 以该函数没有反函数 . 但如果函数 y = f (x) 是单调函数 , 则相应的映 射必为 一一映射 , 而相应的反函数必存在 , 故有如下 结论 : 反函数存在定 单调函数 f 必存在单调的 理： 反函 数 ，且此反函数与 f 具有相同的单调 性 . 例 1 求函数 y  e x  1 的反函数. 解 ex  y 2 - 1 x  ln(y 2 - 1) y  ex  1  1 ，即原函数的值域为(1 ,  ) 反函数为y  ln(x 2 - 1) D - 1  (1 ,  ) f 二、复合函数 (compound function) 设 y  u, u  1 - x 2 , y  1 - x 2 定义 : 设函数 y =f (u) 的定义域为 Df , 函数 u=φ(x) 的定义域为 Dφ, 值域为 Rφ, 当 Df ∩Rφ 非空 时 , 记 D = { x|u=j (x ),x