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第二节 函数的极 限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题 一、函数极限的定义 在自变量的某个变化过程中，如果对应 的 函数值无限接近于某个确定的常数，那么 这个确定的常数叫做自变量在这一变化过程 中函数的极限 。 下面，我们将主要研究以下两种情形： (1) 自变量 x 无限接近于定值 x , 但不等 0 于 x , 即 | x - x | 充分小但不等于零 , 称为 x 0 0 趋向于 x , 记作 x→x . 0 0 它有两种情形 , 一种是变量 x 从左边 无限接近于定值 x , 但不等于 x , 记作 x→x -. 0 0 0 一种是变量 x 从右边无限接近于定值 x , 但 0 不等于 x , 记作 x→x +. 0 0 (2) 自变量 x 的绝对值 |x | 无限增大 , 称 作 x 趋向于无穷大 , 记作 x → ∞. 它也有两种情形 , 一种是变量 x 向正 方向无限增大 , 即 x 取正数且无限增大 , 记 作 x → +∞. 另一种是变量 x 向负方向无限减 小 , 即 - x 取正数且无限增大 , 记作 x → -∞. 下面就自变量的上述几种变化趋势 , 分 别讨论函数 f (x) 的极限 . 1. 自变量趋于有限值时函数的极限 问题: y  f (x ) x  x , 函数 在 0 的过程中 对应 函数值f (x )无限趋近于确定值 A . f (x ) - A e 表示任f (意x )小- A ; 0 x - x d 表示x的ﾮ过x程 . 0 0 d d x0 - d x 0 x0 + d x 点x的去心邻d 域 , d 体 现x接 近程x 度 . 0 0 ① 定义 : 设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域 定义 ( 在 x 处可以没有定义 ), A 为常数 . 如 内有 0 果对于任意给定的正数 ε, 总存在正数 δ, 使 得当 0|x-x0 | δ 时 , 恒有不等式 | f (x) - A | ε 成立 , 则称函数 f (x) 当 x 趋向于 x0 时有极 限 A , 或 f (x) 在 x0 处有极限 A , 记作 lim f (x )  A 或 f (x ) ﾮ A (x ﾮ x 0 ). x ﾮ x