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第八节 闭区间上连续 函数的性质 一、最值定理与有界性定理 二、介值定理与零点定理 三、小结 思考题 一、最值定理与有界性定理 定义 : 设 函数f在(x区) 间上有I定 义 如果,存在 x0 �I , 使 得 对 于任 意x都�有I , f (x ) ﾣ f (x 0 ), (f (x ) ﾣ f (x 0 )), 则 f为(x函)数在 区间f (上x )的 I 最大(小值) . 0 x为 函数 的f最(x大) 值最和大小最(值小点) . 0 值 统 为最值. y 1 sin x , y 2, y 0; 例如 , 在[0,2]上, max min 定理 1( 最值定理 ) 闭区间上的连续函数一定 有最大值和最小值 . 若 f (x ) ﾣC [a ,b ], y 则 $x , x ﾣ [a ,b ], y f (x ) 1 2 使 得x ﾣ [a ,b ], 有 f (x 1 ) ﾣ f (x ), f (x 2 ) ﾣ f (x ). o a x2 x1 b x 注意 :1. 若区间是开区间 , 定理不一定成 立 ; 2. 若区间内有间断点 , 定理不一定成 立 . y y ﾣ1- x , 0 ﾣ x 1, 2 ﾣ y x y ﾣ1, x 1, ﾣ 1 ﾣ3 - x , 1 x ﾣ 2. x x o 1 o 1 2 推论 1( 有界性定理 ) 闭区间上的连续函数必 有界 . 注 有界性定理属于定性结论 , 而最值定理属 于定量性结论 . 二、介值定理与零点定理 定理 2 (介值定理) 若函 f (x )在闭区间 a, b 上 连续，且在这区间的端点取不同的函数值,即 f (a ) f (b ) , 则对于f (a)与f (b)之间的任何 μ ，在开区间 a, b 内 至少存在一点 ξ ，使得f ( ) . y M B y f (x )
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