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第五节 无穷小与无穷 大 一、无穷小 二、无穷小的性质 三、无穷小的比较 四、无穷大 五、小结 思考题 一、无穷小 (infinitesimal) 定义 1 若在自变量 x 的某个变化过程中 limf (x) = 0, 则称函数 f (x) 为 x 在该变 化过程中的无穷小量 , 简称为无穷小 . 函数f当(x时) 为x 无�穷x 小 � e 0, 0 $d 0,使得当0时 |x -有x | d , 0 f (x ) e . 例如 , lim sin x  0, 函数sin x是当x  0时的无穷小. x  0 1 1 lim  0, 函数 是当x  时的无穷小. x  x x (-1)n (-1)n lim  0, 数列{ }是当n   时的无穷小. n n n 注意 （1 ）无穷小是变量 , 不能与很小的常 数混淆 ; （2 ）零是可以作为无穷小的唯一的 数 . 二、无穷小的性质 定理 1 (1) 有限个无穷小的代数和仍是无穷 小 ; (2) 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小 . 这里所说的有界 , 对函数而言可以是局 部有界 . 1 1 例如,时x ﾮ 0 , x sin , x 2 arctan , xex x x 都是无穷 小 . 因为常量有界 , 有极限的变量有界或者 局部有界 , 所以有如下推论 : 推论 1 常量与无穷小的乘积为无穷小 . 推论 2 有极限的量与无穷小的乘积为无穷 小 . 推论 3 有限个无穷小的乘积为无穷小 . 注 两个无穷小的商未必是无穷小 . 2x 2 例如,lim  , x ﾮ 0 3x 3 2x 和 3x 都是 x→0 时的无穷小 , 但商 却不是 . 下面我们考虑无穷小与函数极限的关系 : 定理2 lim f (x )  A � f (x )  A + a (x ), 其 中a (x ) ﾮ 0. 意义 （1 ）将一般极限问题转化为特殊极限 问题 ( 无穷小 ); （2）给出了函数f (x ) 在 x 0 附近的近似表达 式 f (x )  A, 误差为a (x ). 三、无穷小的比较 例如 , 当x时ﾮ都0是无, x ,3穷x小, x 2 ,sin x . 2 x x 2 lim = lim  0, x 比3x要快得多; 观 x ﾮ 0 3x x ﾮ 0 3 察 sin x 各