(73)--高等数学C第二章第七节.pdfVIP

第七节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 一、连续函数的运算 二、初等函数的连续性 三、小结 思考题 一、连续函数的运算 1. 连续函数的和、差、积、商的连续 性 若函数f (x ), g (x )在点x 处连续, 定理 1 0 f (x ) f (x )  g (x ), f (x )  g (x ), (g (x )  0) 0 g (x ) 在点x 处也连续. 0 例如 , sin x ,cos x在 (,)内连续, sin x ￗcos x 故在tan其x定,cot义x域, 内连续 . 1 cos2 x 2. 反函数与复合函数的连续性 定理 2 若函数 y =f (x) 在其定义区间 Df 上连 续且单调增加 ( 或减少 ), 其值域为区间 Rf , 则 它的反函数 y = f -1(x) 在 Rf 上连续且单调增加 ( 或减少 ). p p 例如 , y = sin x 在[上 单, ]增 加 且连续 , 2 2 故在y =上arcsin也 是单x [增1,1]加 且连续 . 同理在y =上arccos单 减x 少[且1,1]连续 ; y = arctan x , y = arccot x 在(上ￗ单,ￗ 且) 连续 . 反三角函数在其定义域内皆连续 . 定理 3 设函数 y =f (u) 和 u=g (x) 可构成复合 函数 y =f [g (x)], g (x ) =u . 若 u=g (x) 在点 x 连 0 0 0 续 , 而 y =f (u) 在点 u0 连续 , 则 y =f [g (x)] 在点 x0 连续 . 即 : 连续函数的复合函数仍然是连续函数 . 1 例如 u = 在 (内ￗ连, 0)续U (0,  ￗ ) , x y = cosu 在 (内ￗ连, 续ￗ ) , 1 故在y 内= 连cos续 (ￗ , 0) U (0,  ￗ ) . x 二、初等函数的连续性 定理 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续 的 . 定义区间是指包含在定义域内的区间 . 注意　初等函数在连续点求极限可用 代入法 . lim f (x ) = f (x 0 ) (x 0 ￗ 定 义 区间) x ￗ x 0