(59)--数学与生命科学——方法篇.pdfVIP

一、数列与差分、生命与混沌 生物的繁衍、气候的变化、时间的流失等等， 无不可以归结为如下的数学表述： t 时刻对 t+1 时刻的作用和影响 考虑离散情形，产生了数列和差分 考虑连续情形，产生了函数和微（积）分方程 例 1 种群的繁衍 以猫头鹰繁衍建立四个模型。 模型 1 无约束增长 只考虑出生和死亡。 假定在每一时间段里，出生数是当前种群总数的 百分数 (b 是一个正常数 ) 。类似地，假定在每 一时间段里，死亡数是当前种群总数的百分数 (d 是一个正常数 ). 那么种群总数的变化是出生数 减去死亡数， 即 其中 表示增长常数。 k  b  d 模型 2 约束增长 假设栖息地可支持的猫头 鹰的数量为 M ， M 表示环境的容纳量 ，即 如果猫头鹰数量超过 M 时，则增长率将是 负的。 此外，当接近 M 时，增长率应慢下 来。这个模型之一就是： 其中 k 表示一个正常数。 模型 3 竞争种群 现在假设在栖息地还有另 一个种群。 我们把 n 个时间段后这个竞争 种群的数量记为 , 假设没有竞争种群时 ， 两个种群都可以无约束增长， 即 , 其中 表示当另一个种群不存在时的常数 增长率，第二个种群出现的效果是降低第 一个种群的增长率，反过来也是如此。 尽管有许多方式来对两个种群不利的相互 用进行建模。考虑下面的模型，其中增长率 的减少与竞争种群的大小成比例： k ,k 正常数 表示竞争相互作用的相对强度。 3 4 模型 4 捕食－被捕食种群 假设猫头鹰的主要 食物来源是兔子。我们把第 n 个时间段后 r 兔子正确的大小表示为 ，在没有捕食这 n 猫头鹰的情况下，兔子种群会兴旺起来。 我们可用对不利的竞争的建模方式 ( 减少增 长率 ) 相类似的方法对猫头鹰种群对兔子增 长率的不利影响进行建模 : r  r  r  (k  k p )r  k r  k p r n n  1 n 1 2 n n 1 n 2 n n 其中 k ,k 是正常数 . 1 2 另一方面 , 如果猫头鹰的单一食物资源就是 兔子 , 如果没有兔子的话 , 猫头鹰的物种将 , 例如说 , 以一个与 p 成比例 , 即 -k p (k n 3 n 3 为正常数 ) 趋于零 , 而由于兔子的存在将提