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教你学会定积分：定积分知识点总结及简单应用 教你学会定积分：定积分知识点总结及简单应用 PAGE/NUMPAGES 教你学会定积分：定积分知识点总结及简单应用 定积分知识点总结及简单应用 知识点 1．定积分的几何意义：假如在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的 ________． 2．定积分的性质 b (1)?akf(x)dx＝__________________(k为常数)； b (2)?a[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________； (3)?baf(x)dx＝_______________________________________. 3．微积分基本定理 一般地，假如f(x)是区间[a，b]上的连续函数，而且 F′(x)＝f(x)，那么?abf(x)dx＝F(b)－ F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成 __________________，即?baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)． 4．定积分在几何中的应用 当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________. 当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________. 当x∈[a，b]且f(x)g(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成 的平面图形的面积 S＝______________________. (4)若f(x)是偶函数，则 a a a ?－af(x)dx＝2?0f(x)dx；若f(x)是奇函数，则?－af(x)dx＝0. 5．定积分在物理中的应用 匀变速运动的行程公式 做变速直线运动的物体所经过的行程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________． 变力做功公式 一物体在变力 F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，假如物体沿着与 F同样的方向从 x＝ a挪动到x＝b(ab)(单位：m)，则力F所做的功W＝__________________________. 自我检测 5 ( ) 1．计算定积分?03xdx的值为 75 A.2 B．75 25 C.2 D．25 1 1 [ 2 ( ) 2．定积分?0 1－x－1－x]dx等于 A. π－2 B. π 4 －1 2 π－1 π－1 C.4 D. 2 3．如右图所示，暗影部分的面积是 ( ) A．23 B．2－3 32 35 C.3 D.3 41 4．?2xdx等于 ( ) A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2 5．若由曲线 2 2 与直线y＝2kx 及y轴所围成的平面图形的面积 S＝9，则k＝ y＝x ＋k ________. 研究点一求定积分的值 例1计算以下定积分： 11 1(xxx2)dx； （2sinx2cosx)dx； 0 π x ＋2)dx； (3)?0(2sinx－3e 2 ?0|x－1|dx. 变式迁徙1计算以下定积分： 2ππ (1)?0|sinx|dx；(2)?0sin2xdx. 2 研究点二 求曲线围成的面积 例2 计算由抛物线 1 2 和y＝3－(x－1) 2 所围成的平面图形的面积S. y＝x 2 变式迁徙2计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积． 研究点三定积分在物理中的应用 例3一辆汽车的速度－时间曲线以以下图，求此汽车在这1min内所行驶的行程． 变式迁徙3A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后抵达途中C点，这一段速度为1.2tm/s，到C点时速度达24m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰巧泊车，试求： A、C间的距离； B、D间的距离； 电车从A站到B站所需的时间． 例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2 .试在此区间内确立点 t的值，使图中的暗影部 分的面积 S1与S2之和最小，并求最小值． 3 解 S1面积等于边长为 t与t2的矩形面积去掉曲线 y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面 积，即 2 t2 2 3 S1＝t·t－?0xdx＝ 3 t.[2分] S2的面积等于曲线 y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积， 矩形边长分别为