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三角恒等变换（2） 课程标准 1、能熟练运用两角和与差以及二倍角进行化简求值 2、能熟练解决变角问题 3、能熟练的运用公式进行求角 基础知识回顾 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦． 2. 要注意对“1”的代换： 如1＝sin2α＋cos2α＝taneq \f(π,4)，还有1＋cosα＝2cos2eq \f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq \f(α,2). 3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成： 如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±eq \f(t2－1,2). 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \f(α,3)是eq \f(2α,3)的半角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的倍角等． 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asinx＋bcosx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).则－eq \r(a2＋b2)≤y≤eq \r(a2＋b2). (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式． (3)y＝eq \f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq \f(acosx＋b,ccosx＋d)) 可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解． 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式． (2)y＝asinx＋eq \f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq \f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解． 自主热身、归纳总结 1、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))的值为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. －eq \f(7\r(2),10)　 B. eq \f(7\r(2),10)　 C. －eq \f(\r(2),10)　 D. eq \f(\r(2),10) 2、若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是(　　) A.eq \f(7π,4)　　　　　　　　　 B.eq \f(9π,4) C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4) 3、已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(1,4)，则sin4θ＋cos4θ的值为____． 4、已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝________. 5、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).则cos(α－β)＝________，2α－β＝________. 例题选讲 考点一、变角的运用 例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知，，则的值为______． 变式1、(2017苏锡常镇调研（一）） 已知sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝________. 变式2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，已知向量a＝(eq \r(6)sinα，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(