平面向量的应用教案.docxVIP

平面向量的应用 【第一课时】 教学重难点 教学目标 核心素养 向量在平面几何中的应用 会用向量方法解决平面几何中的平行、 垂直、长度、夹角等问题 数学建模、逻辑推理 向量在物理中的应用 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题 数学建模、数学运算 【教学过程】 一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题： 1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、新知探究 探究点1： 向量在几何中的应用 角度一：平面几何中的垂直问题 例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． 证明：法一：设eq \o(AD,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \o(DA,\s\up6(→))＋eq \o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)b，eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)a， 所以eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(1,2)b2＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0． 故eq \o(AF,\s\up6(→))⊥eq \o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），eq \o(AF,\s\up6(→))＝（2，1），eq \o(DE,\s\up6(→))＝（1，－2）． 因为eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(DE,\s\up6(→))＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以eq \o(AF,\s\up6(→))⊥eq \o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE． 角度二：平面几何中的平行（或共线）问题 ：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)．求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设eq \o(AB,\s\up6(→))＝m，eq \o(AD,\s\up6(→))＝n， 由eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以eq \o(FO,\s\up6(→))＝eq \o(FA,\s\up6(→))＋eq \o(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝－eq \f(1,3)m＋eq \f(1,2)（m＋n）＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n， eq \o(OE,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝eq \f(1,2)（m＋n）－eq \f(1,3)m＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n． 所以eq \o(FO,\s\up6(→))＝eq \o(OE,\s\up6(→))． 又O为eq \o(FO,\s\up6(→))和eq \o(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 角度三：平面几何中的长度问题 ：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设eq \o(AD,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b， 而|eq \o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝eq \f(1,2)，又|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6)．