高中数学中转化与化归思想方法上课讲义.pdfVIP

高中数学中转化与化归思想方法 江苏省宿豫中学 陆新江 转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法， 转化与化归思想 贯穿于整个数学中， 掌握这一思想方法， 学会用化归与转化的思想方法分析问题、 处理问题有着十分重要意义。 化归与转化是通过某种转化过程， 把待解决的问题 或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一 种重要的思想方法。 通过不断的转化， 把不熟悉、 不规范、 复杂的问题转化为熟 悉、规范甚至模式法、简单的问题。 一、转化与化归的主要方式： 1、等价转化， 2、空间图形问题转化为平面图形问题， 3、局部与整体的相互 转化， 4 、特殊与一般的转化， 5、非等价转化， 6、换元、代换等转化方法的运 用， 7、正与反的转化 ,8 、数与形的转化， 9、相等与不等的转化 ,10 、常量与变 量的转化、 11、实际问题与数学语言的转化等 . 我们可以通过以下例题来观察： C b 例 1. 已知 A B C 中, 若 A ,求证： c a 2 2 分析： 已知条件是角的关系， 而结论是边的关系， 所以应设法将角的关系转化成 边的关系，所以使用正弦定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 进行等价转化。 C 解：由 A 即 C 2 A , 2 故 B ( A C ) 3 A 所以 sin B sin( 3 A ) sin 3 A 1 1 故 sin C sin A sin B = sin 2 A sin A sin 3 A 2 2 1 2 = sin A (2 cos A 1) 0 2 1 即sin C sin A sin B 2 b 由正弦定理得： c a 2 本题是等价转化问题， 转化有等价转化与非等价转化。 等价转化要求转化过 程中前因后果是充分必要的， 才保证转化后的结果仍为原问题的结果。 非等价转 化其过程是充分或必要的， 要对结论进行必要的修正 （如无理方程化有理方程要 求验根） ，它能给人带来思维的闪光点， 找到解决问题的突破口。 例如不等式的 放缩。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求， 实施等价 转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 例 2. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 ____。 分析：为了求 ab 的取值范围，只要将原等式转化为不等式即可。即运用不 等式 a b 2 ab 。