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高中数学④ 2 ．5 教材解读 平面向量的应用 一、平面向量在几何中的应用 1．向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示， 它可以把几何证明转化为代数运算， 变抽象的逻辑推理为具体的向量运算， 实现 “数” 与“形”的有机结合，使向量的运算完全化为代数运算．因此，用平面向量解决一些较繁杂的几何问题，不但思路简捷，形象直观， 易于掌握，还可以使得一些传统的平面几何题，在平面向量的背景下，有新的内涵，因而也就可以产生一些全新的证法，这就是说， 平面向量赋予了传统的几何证明新的魅力和活力．用平面向量方法证明几何问题时，一般应把已知和结论转化为向量的形式，再通 过相应的向量的运算完成证明．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中建立适当的坐标系十分重要，它关系到运算的简 与繁． 2 ．由于向量可用有向线段表示，使得向量与有关直线问题保持着一种天然的联系．利用向量的方法处理平面几何中的直线问题，其 基本思想是：将平面几何问题中的线段表示为向量，然后根据已知图形的性质和特征，应用向量的运算法则、运算律，推出所求结 论．用向量法处理有关直线平行、 垂直、 线段相等、 共线、 共点以及角的度数等问题时有独到之处， 并且解法简洁直观、 思路清晰． 其 基本方法是：①要证线段 AB CD ，可转化为证明 AB CD ；②要证明两条线段 AB ∥ CD ，只要证明存在一个不为零的实数 ， 使得 AB CD 且 A，B，C， D 不共线即可，或若 ， ， ， ，只要证明 x y x y A，B，C，D AB (x y ) CD (x y ) 且 不共线即可．③要 1 1 2 2 1 2 2 1 证明三点 A，B，C 共线， 只要证明 AB ∥ AC 或 AB ∥ BC ，或若 OA a ，OB b ，OC c ，存在一个实数 t ，使等式 c t a (1 t ) b 成立．④要证明 AB CD ，只要证明 AB·CD 0 即可，或用坐标证明 x x y y 0 即可：⑤常用模公式 a a·a 和两向量夹角的余 1 2 1 2 弦值公式处理有关长度与角度的问题． 3 ．在利用向量处理平面几何问题时，要注意向量表达关系与线段长度的区别，如在 △ ABC 中，三边关系有 AB BC AC ，用向量 表示则为 AB BC AC ． 二、平面向量在物理中的应用 1．向量知识是解决许多物理问题的有利工具，用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的 认识更深刻． 2 ．可用向量研究的物理问题：①力、速度、加速度、位移等，既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的 叠加亦用到向量的合成；②动量 m v 是数乘向量；③功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积． 3 ．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法是：①认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；②通过抽象、概括，把 物理问题转化为与之相关的向量问题；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象 作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．