2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第二章 第四节 导数的综合应用.pdfVIP

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级 基础夯实练 1．(2018·安徽合肥一中等六校联考)已知函数f(x)＝(x＋a－1)e ，x 1 g(x)＝x ＋ax，其中a为常数．2 2 (1)当a＝2时，求函数f(x)在 (0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：(1)因为a＝2 ，所以f(x)＝(x＋1)ex ，所以f(0)＝1，f′(x)＝(x ＋2)e ，所以f′(0)＝2 ，所以切点的坐标为(0，1)，所以切线方程为2xx －y ＋1＝0. (2)令h(x)＝f(x)－g(x) ，由题意得h(x) ≥0在x∈[0，＋∞)上恒 min 成立，h(x)＝(x＋a －1)e － －ax ，所以h′(x)＝(x＋a)(e －1)，x 1x2 x 2 ①若a≥0 ，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0 ，所以函数h(x)在[0， ＋∞)上单调递增， 所以h(x) ＝h(0)＝a －1，则a －1≥0 ，得a≥1. min ②若 a＜0 ，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0 ，当x∈(－a ，＋∞) 时，h′(x)≥0 ， 所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增， 所以h(x) ＝h(－a) ，又h(－a)＜h(0)＝a －1＜0 ，所以不合题意． min 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞) ． x2 2．(2018·青岛调研)设函数f(x)＝ klnx，k＞0.2 (1)求f(x)的单调区间和极值． (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零 点． 解：(1)由f(x)＝x2 －klnx(k＞0)得 2 k x2 －k f′(x)＝x － ＝ . x x 由f′(x)＝0解得x＝ k. f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下： x (0 ，k) k ( k ，＋∞) f′(x) － 0 ＋ k （1－lnk） f(x) 2 所以，f(x)的单调递减区间 (0 ，k) ，单调递增区间 ( k ，＋ k （1－lnk） ∞) ；f(x)在x＝ k处取得极小值f( k)＝ 2 . (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0 ，＋∞)上的最小值为 f( k)＝ k （1－lnk） k （1－lnk） 2 .因为f(x)存在零点，所以 2 ≤0 ， 从而k≥e. 当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f( e)＝0 ， 所以x＝ e f(x)在区间(1 ， e]上的唯一零点． 当k＞e 时，f(x)在区间(0 ，e)上单调递减， 1 e －k 且f(1) ＝ ＞0 ，f( e) ＝ ＜0 ， 2