2020年高中数学教学论文 思想与方法函数与方程的思想方法 新人教版.pdfVIP

函数与方程的思想方法概述 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的 数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从 而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程 或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个 yf (x) y0 f (x)0 领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数 ，当 时，就转化为方程 ， 也可以把函数式yf (x)看做二元方程yf (x)0，函数与方程这种相互转化的关系十 分重要。 函数与表达式也可以相互转化，对于函数 yf (x)，当y 0时，就转化为不等式 f (x)0，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也 离不开解不等式。 数列的通项或前 项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分n 重要。 n * 函数f (x)(abx) (nN )与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比 较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。 解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组 才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式 的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、 解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立 函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、 化繁为简的目的。 高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以 分成逐渐提高的四个层次。 第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对 数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等； 第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间 根、区间上恒成立的不等式等问题； 第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置 关系）、函数的性质、集合的关系等； 第四层次：构造方程或不等式求解问题。 其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方 程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲” 就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为 中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于 根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。 经典例题： 一． 函数思想 所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分 析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。 1. 构造函数，运用函数的性质 x x 2cosxa 02 2 a 例1. （1）已知关于 的方程 有唯一解，求 的值； 2 2 （2）解不等式x(1 x 2)(x1)(1 (x1) 2)0。 2 2 f (x)x 2cosxa f (x) a 分析：（1）构造函数