高考数学母题：基本不等式.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(11-11):基本不等式(246) 665 基本不等式 [母题]Ⅰ(11-11):(2010年湖北高考试题)设a0,b0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB 上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作OD的垂线,垂足为E. 连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均 数,线段 的长度是a,b的几何平均数,线段 的长度是a,b的调和平均数. [解析]:在Rt△ABD中,由射影定理:CD2=ACCBCD==线段CD的长度是a,b的几何平均数;又在Rt△ODC中,由CE⊥ODCD2=DEDODE===线段DE的长度是a,b的调和平均数. [点评]:在此题基础上,作OF⊥AB交半圆于点F,则CF=;由DE≤CD≤OD≤CF≤≤≤ (当且仅当a=b时,等号成立),这是基本不等式的整体,又称为基本不等式链. [子题](1):(2000年全国高考试题)若ab1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则( ) (A)RPQ (B)PQR (C)QPR (D)PRQ [解析]:由ab1lgalgb0,把lga,lgb分别视为基本不等式≤中的x,y得:(lga+lgb)P Q;又由(a≠b)lglg(lga+lgb)lgQRPQR.故选(B). 注:掌握数学公式的有效途径之一,就是掌握该公式的各种变式,以扩大公式的用场.该题是基本不等式的直接变式,是基本不等式的一个短小精美的子题. [子题](2):(2008年浙江高考试题)己知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )(A)ab≤ (B)ab≥ (C)a2+b2≥2 (D)a2+b2≤3 [解析]:由≤1≤a2+b2≥2.故选(C). 注:对于一个基本结论的认识与把握,起源于它的应用.高考命题对基本不等式考查的着力点就是基本不等式的应用,因此,基本不等式是该类高考试题的母题.本题同时也说明:从整体上把握基本不等式的重要性. [子题](3):(2010年全国I高考试题)已知函数f(x)=|lgx|.若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( ) (A)(2,+∞) (B)[2,+∞) (C)(3,+∞) (D)[3,+∞) [解析]:由f(a)=f(b)|lga|=|lgb|(lga+lgb)(lga-lgb)=0ab=1; (法一)由a+2b≥2=2,但0ab等号不能成立a+2b2.故选(A). (法二)由ab=1b1,且a+2b=2b+在(1,+∞)上是增函数a+2b3.故选(C). 注:解法一是错误的,原因是a+2b→2时,a→2b,但由0ab,且ab=10a1b0a122b,矛盾;由此可见,使用基本不等式求范围时,如果等号不成立,不能简单的去掉等号得范围,那么又怎么办呢？这时应利用等量关系消元,把待求式转化为某变元的双曲函数求解,由此加深对基本不等式的认识.关注等号成立的条件是应用基本不等式的关键. [子题系列]: 666 [母题]Ⅰ(11-11):基本不等式(246) 1.(2006年浙江高考试题)“ab0”是“ab”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而充分不条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分而也不必要条件 2.(2006年安徽高考试题)设a,b∈R,己知命题P:a=b,命题q:,则p是q成立的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要分必条件 (D)既不充分也不必要条件 3.(2003年希望杯数学邀请赛试题)己知x,y∈R,则“xy≤1”是“x2+y2≤1”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而充分不条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分而也不必